将路径$L$表示为起点到终点经过的路段的序列，即路径$L=\left\{l_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}},l_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}},\cdots ,l_n^{n+\mathrm{1}}\right\}$. 假设路径目标路径$L=\left\{l_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}},l_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}},\cdots ,l_n^{n+\mathrm{1}}\right\}$可由$m$个不同的子路径$L_{\mathrm{1}},L_{\mathrm{2}},L_{\mathrm{3}},\dots ,L_m$组成， 即$L=\left\{L_{\mathrm{1}},L_{\mathrm{2}},L_{\mathrm{3}},\dots ,L_m\right\}$，例如目标路径$\left\{l_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}},l_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}},l_{\mathrm{3}}^{\mathrm{4}}\right\}$的一个拼接方案为$L=\left\{\left\{l_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}},l_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}\right\},\left\{l_{\mathrm{3}}^{\mathrm{4}}\right\}\right\}$，即目标路径由子路径$\left\{l_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}},l_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}\right\}$与$\left\{l_{\mathrm{3}}^{\mathrm{4}}\right\}$组成。为保证拼接得到的目标路径行程时间与现实相符，相邻子路径的轨迹$L_i,L_{i+\mathrm{1}}$应当在符合拼接所需的物理条件以及路径交通状态条件，两方面的约束保证了拼接路径可以是真实存在的，从而保证行程时间估计结果的准确性。

1） 物理约束。物理条件保证了拼接路径在空间上是连续的，用于拼接的两段相邻轨迹$L_i,L_{i+\mathrm{1}}$必须有一部分是在空间上重合，即两条轨迹至少有一个共同的结点（拼接结点）。

2） 交通状态约束。交通状态反映了路网交通流运行情况，可依据路径流量与密度判断交通状态通畅与否。路径的行程时间受交通状态影响，假设同一路径的路径路网状态相近时，该路径上的行程时间服从相同的分布。对于相邻的子路径$L_i,L_{i+\mathrm{1}}$，要求下游子路径$L_{i+\mathrm{1}}$在其出发的时刻所对应的实时路径路网状态与上游路径$L_i$到达拼接结点时路径$L_{i+\mathrm{1}}$所对应的路径的初始路径路网状态相同。

设满足上述物理条件以及交通状态条件的拼接路径$L=\left\{L_{\mathrm{1}},L_{\mathrm{2}},L_{\mathrm{3}},\dots ,L_m\right\}$中各子路径的行程时间为$T_{L_i}$，则路径$L$的总行程时间为各子路径的行程时间之和。

对于一条由$n$个路段组成的路径而言，最多可存在${\mathrm{2}}^{n-\mathrm{1}}-\mathrm{1}$种满足拼接条件的拼接方案，以由3个路段组成的目标路径$\left\{l_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}},l_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}},l_{\mathrm{3}}^{\mathrm{4}}\right\}$为例，最多有$\left\{\left\{l_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right\},\left\{l_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}\right\},\left\{l_{\mathrm{3}}^{\mathrm{4}}\right\}\right\}$、$\left\{\left\{l_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}},l_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}\right\},\left\{l_{\mathrm{3}}^{\mathrm{4}}\right\}\right\}$和$\left\{\left\{l_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right\},\left\{l_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}},l_{\mathrm{3}}^{\mathrm{4}}\right\}\right\}$共3种可能的拼接方案。将真实行程时间的均值作为行程时间的真实值，为了使行程时间估计值与真实值之间偏差幅度最小，选用各子路径行程时间方差之和最小的拼接方案。拼接方案$L=\left\{L_{\mathrm{1}},L_{\mathrm{2}},L_{\mathrm{3}},\dots ,L_m\right\}$行程时间的整体方差为$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}$，$n_{L_i}$为经过子路径$L_i$的车辆数，$T_{L_i}^j$为第$j$辆车经过子路径$L_i$所用时间，$\overline{T_{L_i}}$为经过子路径$L_i$的行程时间均值，则$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}$的计算方法为：

选择行程时间误差最小的拼接方案可转为求解行程时间的整体方差最小的优化问题：

使用遗传算法（

图3  路径拼接方案编码示意图

Fig.3  Example of chromosome composition

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适应度代表了染色体存活概率的大小，将适应度函数设置为$F_i=-\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left(L,L_{\mathrm{1}},L_{\mathrm{2}},\dots ,L_m\right)$，采用“轮盘赌”选择方法确定下一代个体，则方案的整体方差越小染色体被选中的概率越大；染色体交叉过程采用二点交叉法，在两条父代染色体上分别随机抽取长度相等的两条染色体片段并交换；变异过程采用点位变异，随机选择多个基因依照设置的概率在子代染色体上进行变异，由于采用了0-1编码，变异时将基因编码取反即可。

交通流基本图模型由

路径$L$的密度为

其中$\mathrm{l}\mathrm{e}{\mathrm{n}}_{l_j^k}$为路段$l_j^k$的长度，$\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}{\mathrm{m}}_{l_j^k}$为路段$l_j^k$进口道的车道数，$t_i^L$为路径$L$上第$i$个路段起始节点对应的时刻，$Q\left(l_i^{i+\mathrm{1}},t_i^L\right)$与$K\left(l_i^{i+\mathrm{1}},t_i^L\right)$分别为$t_i^L$时刻路段$l_i^{i+\mathrm{1}}$上的流量与密度。图4为路径交通流基本图，图中各点表示同一路径上路径流量与路径密度的对应关系。随着路径密度的增大，路径流量也随之上升，当路径密度增大到临界密度$k_m^L$后，路径流量随密度增大呈下降的趋势。

图4  路径交通流基本图示意图

Fig.4  Basic diagram of a path

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根据Greenshields模型中交通流速度与密度存在的正比关系，可以推出流量与密度间存在二次函数关系，利用二次函数拟合路径流量与路径密度之间的关系，图4中绘制了拟合后的曲线。设路径$L$上流量与密度的关系为：

则临界密度$k_m^L=-\left(b/\mathrm{2}a\right)$ .根据路径$L$在时刻$t$的密度划分其所处的交通状态$C_L\left(t\right)$，参考

路径行程时间在不同交通状态下会呈现不同分布，分别对路径在不同交通状态下的行程时间分布进行拟合，得到路径$L$在交通状态$C_L\left(t\right)$下的路径行程时间概率密度函数为$f\left(T_L,C_L\right)$，则行程时间小于$T_x$的概率

由于出行者对连续变化的时间感知度有限，为了便于后续计算，可以将行程时间分布离散化处理。将行程时间为$\left[\left.T_x-\tau ,T_x\right)\right.$的概率作为行程时间为$T_x$的概率，以$P\left(T_x,C_L\right)$表示路径$L$上路径行程时间为$T_x$的概率，即

其中$T_x=h\tau$，$h=\mathrm{1,2},\mathrm{3},\dots$，$T_x$单位为$\mathrm{s}$ .

在出发时间已知的情况下，给定目标行程时间，则概率计算步骤：

1）将目标路径分解，选取所有拼接方案中$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}$最小的拼接方案，为该方案中各子路径分配行程时间使得各子路径的行程时间之和为给定的目标行程时间；

2）根据子路径的起始时刻所对应的交通状态及相应的概率分布函数，计算各子路径对应行程时间的概率，将每段子路径行程时间概率相乘即得到该时间分配方案下路径行程时间的概率，累加所有时间分配方案的概率，即为目标路径的行程时间为给定值的概率（图5）。

图5  路径行程时间概率计算过程

Fig.5  Process of path travel time probability

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假设待研究的拼接方案为

将目标路径行程时间视为所选拼接方案下各子路径的行程时间之和，即$T_L={\sum }_{i=\mathrm{1}}^m{T}_{L_i}$，其中$T_{L_i}$为各子路径的行程时间。给定目标行程时间$T_x$，各子路径的行程时间$T_{L_i}$存在多种组合方式，由于子路径的行程时间是离散化的，因此可以列出所有可能的子路径行程时间组合。设每个子路径上存在最小行程时间$T_{L_i}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$，则当$T_x\ge {\sum }_{i=\mathrm{1}}^m{T}_{L_i}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$时，给定行程时间是合理的，存在一个概率值与之对应。设可用于分配的时间长度为

在最小行程时间的基础上为每个子路径分配行程时间增量$\mathrm{\Delta }{T}_{L_i}$，则共有$m^{\alpha }$种时间分配方案使得$\mathrm{\Delta }{T}_x={\sum }_{i=\mathrm{1}}^m\mathrm{\Delta }{T}_{L_i}$，故各子路径的行程时间$T_{L_i}=T_{L_i}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+\mathrm{\Delta }{T}_{L_i}$ .子路径上行程时间为$T_{L_i}$的概率为$P\left(T_{L_i},C_{L_i}\right)$，将该拼接方案下所有可能的子路径行程时间组合的概率和为目标路径行程时间为$T_x$的概率为

以目标路径$L$的拼接方案

为例，依据式（1）和（2）计算各子路径$L_i$的流量与密度，并绘制各子路径的路径交通流基本图（图8）。

图8  子路径交通流基本图

Fig.8  Basic diagram of sub-paths

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绘制目标路径及其子路径的路径交通流基本图并使用二次函数进行拟合，选取确定系数R²以及均方根误差RMSE表征拟合优度。其中$R^{\mathrm{2}}\in [\mathrm{0,1}]$，越接近1则拟合程度越高；RMSE用于衡量拟合值与真实值之间的偏差；拟合情况见表1。由表1可知，利用二次函数拟合的结果中R²>0.85，RMSE>10，拟合度较好。

表1  路径交通流基本图拟合情况（部分）

Table 1  Fitting of basic diagram of path

子路径	拟合参数			$R^2$	$\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}$
	$a$	$b$	$\mathrm{c}$
$L_1$	-0.348	21.498	14.375	0.875	12.854
$L_2$	-0.536	25.221	-0.790	0.892	12.286
$L_3$	-0.694	27.325	-5.157	0.913	11.039
$L_4$	-0.470	22.385	8.991	0.903	10.334

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按照式（3）将子路径划分为“畅通”“基本畅通”“拥堵”和“严重拥堵”等4种交通状态，以子路径$L_{\mathrm{2}}$为例，不同交通状态下子路径行程时间分布情况如图9所示。

图9  不同交通状态下行程时间分布

Fig.9  Travel time distributions under different traffic status

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分别利用Gamma、Normal以及Burr分布对行程时间分布进行拟合，利用残差平方和评价分布拟合效果。残差平方和越小，则拟合效果越好。子路径在不同交通状态下的残差平方和见表2。由表2可知，Burr分布在各种交通状态下拟合的残差平方和均为最小，因此采用Burr分布对所有状态下的行程时间分布进行拟合。特别地，若交通状态为“严重拥堵”时的路径行程时间数据量不足时，则认为该路段不存在此状态，在进行路径拼接时不考虑该状态。

表 2  子路径在不同交通状态下路径行程时间分布拟合残差平方和

Table 2  RSS of travel time distribution of sub routes under different traffic status ( ${\mathrm{10}}^{-\mathrm{6}}$ )

子路径	通畅				基本通畅				拥堵				严重拥堵
	Gamma	Normal	Burr		Gamma	Normal	Burr		Gamma	Normal	Burr		Gamma	Normal	Burr
$L_1$	5	35	3		28	52	25		395	110	59		28	84	18
$L_2$	25	114	13		220	369	175		2 835	337	95		96	238	58
$L_3$	35	96	15		196	325	138		686	420	86		\	\	\
$L_4$	135	26	5		61	118	50		774	1 067	656		\	\	\

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将2021年8月29日8：00时刻的路径路网状态作为输入，分别计算目标路径上行程时间为0~2 000$\mathrm{s}$的概率，得到目标路径行程时间估计值分布。将其与该路径上2021年8月29日8：00~9：00时段内轨迹的行程时间真实值分布进行对比，结果见图10，部分行程时间对应的概率密度与累计概率如表3所示。在此时间段内，真实出行轨迹的行程时间均值为714$\mathrm{s}$，本方法所得行程时间估计值均值为693$\mathrm{s}$，误差3.04%。

图10  目标路径行程时间真实值与估计值对比

Fig.10  Comparison of target path travel time distributions

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表3  行程时间真实值与估计值对应累计概率与概率密度

Table 3  Cumulative probability and probability density of different travel times

行程时间/s	真实值累计概率	估计值累计概率	真实值概率密度/10-3	估计值概率密度/10-3
600	0.536	0.438	1.220	1.790
630	0.571	0.490	1.120	1.660
660	0.603	0.538	1.030	1.520
690	0.633	0.581	0.941	1.380
720	0.660	0.620	0.860	1.250
750	0.685	0.656	0.785	1.120
780	0.707	0.688	0.716	1.010
810	0.728	0.716	0.654	0.901
840	0.746	0.742	0.597	0.806
870	0.763	0.764	0.546	0.722
900	0.779	0.785	0.500	0.646

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使用JS散度（Chen & Liu，2021）进一步判断上述2种分布的相似性。JS散度是基于KL散度提出的一种概率统计方法（Kullback & Leibler，1951），在信息论中广泛应用于定量衡量两个概率分布间的差异性。离散型分布$U,V$的KL散度为

KL散度具有非对称性，JS散度在KL散度基础上消除了非对称性，计算公式为

JS散度取值在0~1之间，相同分布的JS散度为0，JS散度越大，两个分布间的相似性越小。按照式（4）计算可得目标路段行程时间分布的估计值与实际值的JS散度为0.05，可以认为本文方法得到的行程时间分布与真实行程时间分布的趋势一致，同一行程时间所对应的概率相近。因此，从行程时间均值与分布两方面来看，本方法对行程时间估计的结果可靠，可为后续相关研究提供数据基础。