亏格不为1的二次可逆LV系统的极限环分支

吴莎; 吴奎霖

doi:10.13471/j.cnki.acta.snus.2022A083

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亏格不为1的二次可逆LV系统的极限环分支

研究论文 | 更新时间：2023-12-08

- 亏格不为1的二次可逆LV系统的极限环分支
- Bifurcation of limit cycles for quadratic reversible Lotka-Volterra systems with non-genus one
- 角色： First author , 第一作者 ,
  
  机构：
  贵州大学数学与统计学院，贵州贵阳 550025
  
  邮箱： zhangwusha44@163.com
  
  简介：吴莎（1998年生），女；研究方向：微分方程定性理论及应用；E-mail：zhangwusha44@163.com
  
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  吴莎
  ，
  角色： Corresponding author , 通讯作者 ,
  
  机构：
  贵州大学数学与统计学院，贵州贵阳 550025
  
  邮箱： sci.klwu@gzu.edu.cn
  
  简介：吴奎霖（1981年生），男；研究方向：微分方程定性理论及应用；E-mail：sci.klwu@gzu.edu.cn
  
  暂无本作者相关信息
  吴奎霖
  ，
- 中山大学学报(自然科学版)(中英文) 2023年62卷第6期页码：127-134
- 作者机构：
  
  贵州大学数学与统计学院，贵州贵阳 550025
- 作者简介：
  
  吴莎（1998年生），女；研究方向：微分方程定性理论及应用；E-mail：zhangwusha44@163.com
  吴奎霖（1981年生），男；研究方向：微分方程定性理论及应用；E-mail：sci.klwu@gzu.edu.cn
- 基金信息：
  
  国家自然科学基金(11661017);贵州省科学技术基金(黔科合基础［2020］ 1Y405)
- DOI：10.13471/j.cnki.acta.snus.2022A083
  中图分类号： O175.21
- 纸质出版日期：2023-11-25，
  
  网络出版日期：2023-07-27，
  
  收稿日期：2022-09-27，
  
  录用日期：2023-02-26
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吴莎,吴奎霖.亏格不为1的二次可逆LV系统的极限环分支[J].中山大学学报(自然科学版),2023,62(06):127-134.

WU Sha,WU Kuilin.Bifurcation of limit cycles for quadratic reversible Lotka-Volterra systems with non-genus one[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni,2023,62(06):127-134.
吴莎,吴奎霖.亏格不为1的二次可逆LV系统的极限环分支[J].中山大学学报(自然科学版),2023,62(06):127-134. DOI： 10.13471/j.cnki.acta.snus.2022A083.

WU Sha,WU Kuilin.Bifurcation of limit cycles for quadratic reversible Lotka-Volterra systems with non-genus one[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni,2023,62(06):127-134. DOI： 10.13471/j.cnki.acta.snus.2022A083.

摘要

主要研究两个亏格不为1的二次可逆Lotka-Volterra系统的周期环域在小扰动下产生极限环的个数问题. 应用完全切比雪夫系统的性质来判定该系统的二阶Melnikov函数的零点个数，从而证明了在二次扰动下，这两个系统的周期环域能分支出两个极限环.

译

Abstract

The number of limit cycles bifurcated from the periodic annulus of two quadratic reversible Lotka-Volterra systems with non-genus 1 under small bifurcations is studied. Using the properties of complete Chebyshev systems to estimate the number of zeros of second-order Melnikov function， it is proven that the number of limit cycles bifurcated from the periodic annulus of the two quadratic reversible Lotka-Volterra systems are both 2 under quadratic perturbations.

译

关键词

可逆LV系统; Abel积分; 极限环; 亏格1

译

Keywords

reversible Lotka-Volterra system; Abelian integral; limit cycles; genus one

译

自从Hilbert第16个问题被提出以来，极限环个数的问题就成为平面微分系统定性理论研究的热点问题之一. 我们研究具有小扰动项的多项式可积系统

译

\{\begin{array}{l} \dot{x} = - \frac{1}{M} \frac{\partial H}{\partial y} + ε F (x, y, ε), \\ \dot{y} = \frac{1}{M} \frac{\partial H}{\partial x} + ε G (x, y, ε), \end{array}

（1）

其中 $M (x, y)$ 是对应 $H (x, y)$ 的积分因子. 用环性表示多项式系统在小扰动下分支出的最大极限环个数. 研究Abel积分 $I (h)$ 孤立零点个数问题涉及弱化的Hilbert第16问题.系统（1）的后继函数可表示为

d (h, θ) = θ M_{1} (h) + θ^{2} M_{2} (h) + \dots + θ^{k} M_{k} (h) + \dots,

其中 $d (h, θ)$ 定义在流的一个横截线段上，这个流由哈密顿函数 $H = h$ 给出. 称 $M_{k} (h)$ 为 $k$ 阶Melnikov函数. 未扰可积系统 ${(1)}_{ε = 0}$ 的周期环域在扰动下产生极限环个数的上界等于 $d (h, ε)$ 中第一个非零的Melnikov函数 $M_{k} (h)$ 的零点个数.

在文献（

Zoladek， 1994）里，中心在原点的平面二次系统分为以下几类：

译

$哈密顿系统 (Q_{3}^{H})$ ： $\dot{z} = - i z + z^{2} + 2 {|z|}^{2} + (b + i c) {\bar{z}}^{2},$

$余维 4 系统 (Q_{4})$ ： $\dot{z} = - i z + 4 z^{2} + 2 {|z|}^{2} + (b + i c) {\bar{z}}^{2}, |b + i c| = 2,$

$可逆系统 (Q_{3}^{R})$ ： $\dot{z} = - i z + z^{2} + (b + i c) {\bar{z}}^{2},$

$L o t k a$ - $V o l t e r r a 系统 (Q_{3}^{L V})$ ： $\dot{z} = - i z + a z^{2} + 2 {|z|}^{2} + b {\bar{z}}^{2},$

其中 $z = - x i + y, a, b, c$ 表示任意实常数.

Zoladek（1994）称一个可逆二次系统为通有的，如果它不属于上面分类中的其他几类. 反之，Iliev（1998）证明：对于通有情形，只需要研究一阶Melnikov函数

M_{1} (h)

的零点个数；对应退化情形，需要研究高阶Melnikov函数

M_{2} (h)

或

M_{3} (h)

（只针对哈密顿三角系统）. 如果二次中心属于哈密顿情形

Q_{3}^{H}

（i.e.

n = 2

所对应的弱化Hilbert第16问题），Horozov et al.（1994），Li（2002）证明其环性为2. 对于

Q_{4}

中的通有系统，Gavrilov et al.（2009）证明了其环性小于等于8，其后Zhao（2011）将其环性降低到5. Zoladek（1994）证明了

Q_{3}^{L V}

中的通有系统的环性为2. 到目前为止，

Q_{3}^{R}

的环性仍是公开问题. Liu（2012）证明了

Q_{3}^{R}

环性不超过4. Gavrilov et al.（2000）证明

Q_{3}^{H} ⋂ Q_{3}^{R}

的环性为2. Iliev（1996）证明了哈密顿三角形

Q_{Δ}^{H}

的环性为3，之后Iliev（1997）又证明了

Q_{4} ⋂ Q_{3}^{R}

中的退化系统环性为2. 对于

Q_{3}^{L V} ⋂ Q_{3}^{R}

，它可表示为

\dot{z} = - i z + z^{2} + b {\bar{z}}^{2},

或

译

\{\begin{array}{l} \dot{x} = - y + 2 (1 - b) x y, \\ \dot{y} = x + (1 + b) x^{2} - (1 + b) y^{2}, \end{array}

（2）

其中 $b$ 是一个实数. 当 $b \neq 1$ 时，系统（2）可化为

\{\begin{array}{l} \dot{x} = - y (1 + x), \\ \dot{y} = x - F x^{2} + F y^{2} . \end{array}

（3）

系统（3）在二次小扰动下的方程为

译

\{\begin{array}{l} \dot{x} = - y (1 + x) + ε f (x, y, ε), \\ \dot{y} = x - F x^{2} + F y^{2} + ε g (x, y, ε), \end{array}

（4）

其中 $ε$ 是一个小参数， $f$ 和 $g$ 是关于 $ε$ ， $x$ ， $y$ 的二次多项式. 如果系统（4）的积分曲线是椭圆曲线（即代数曲线的亏格为1或代数曲线的次数不超过5次），

Gautier et al.（2009）把亏格1的二次可逆Lotka-Volterr系统（

Q_{3}^{R} ⋂ Q_{3}^{L V}

）分为11种情形：（lv1）-（lv5）和（rlv1）-（rlv6），并且给出了一个猜想：当原点为二次可逆Lotka-Volterr系统的中心时，系统（rlv1）的周期环域在二次小扰动下的环性为3，其他10类系统所对应的环性为2. 到目前为止，上述11种情形的环性问题已经被解决，详情参考文献（Iliev， 1998； Li et al.， 2009； Grau et al.， 2011； Shao et al.， 2011； Shao et al.， 2013； Peng et al.， 2014； Wu et al.， 2014）. 之前的研究结果主要关注于积分曲线是亏格1的二次中心. 我们研究积分曲线是非亏格1的Lotka-Volterra系统（4），即考虑

F = \frac{1}{3}

和

F = - \frac{4}{3}

这两种特殊情况，其积分曲线可转化为6次代数曲线. 下面是本文的主要结果.

定理1 当 $F = \frac{1}{3}$ 和 $F = - \frac{4}{3}$ ，系统（3）在二次扰动下的周期环环性为2.

1 预备知识

我们借助切比雪夫系统性质证明主要结果. 首先介绍了切比雪夫系统的定义以及相关的一些结论.

译

定义1 令 $f_{0} (x), f_{1} (x), \dots, f_{n - 1} (x)$ 是开区间 $L \subset R$ 上的解析函数.

（a）如果任何非平凡线性组合

译

α_{0} f_{0} (x) + α_{1} f_{1} (x) + \dots + α_{n - 1} f_{n - 1} (x)

在 $L$ 上至多有 $n - 1$ 个孤立零点，则 $(f_{0} (x), f_{1} (x), \dots, f_{n - 1} (x))$ 是 $L$ 上的一个切比雪夫系统（简称，T-系统）.

（b）如果对于任意的 $k = 1,2, \dots, n$ ， $(f_{0} (x), f_{1} (x), \dots, f_{k - 1} (x))$ 是 $L$ 上的一个切比雪夫系统，则称 $(f_{0} (x), f_{1} (x), \dots, f_{n - 1} (x))$ 是 $L$ 上的一个完全切比雪夫系统（简称， CT-系统）.

（c）如果对于任意的 $k = 1,2, \dots, n$ ，所有非平凡线性组合

α_{0} f_{0} (x) + α_{1} f_{1} (x) + \dots + α_{k - 1} f_{k - 1} (x)

在 $L$ 上至多有 $k - 1$ 个孤立零点（计算重数），则称 $(f_{0} (x), f_{1} (x), \dots, f_{n - 1} (x))$ 是 $L$ 上的一个广义的完全切比雪夫系统（简称， ECT-系统）.

显然，ECT-系统是CT-系统，反之不成立. ECT-系统考虑零点重数，但CT-系统不考虑零点重数. 下面介绍ECT-系统的一些性质.

译

定义2 令 $f_{0} (x), f_{1} (x), \dots, f_{n - 1} (x)$ 是开区间 $L \subset R$ 上的解析函数. $(f_{0} (x), f_{1} (x), \dots, f_{n - 1} (x))$ 在 $x \in L$ 处的连续朗斯基行列式为

W [f_{0}, \dots, f_{n - 1}] (x) = d e t {(f_{j - 1}^{(i - 1)} (x))}_{1 \leq i, j \leq n} = |\begin{matrix} f_{0} (x) & \dots & f_{n - 1} (x) \\ f_{0}^{'} (x) & \dots & f_{n - 1}^{'} (x) \\ ⋮ & ⋮ \\ f_{0}^{(n - 1)} (x) & \dots & f_{n - 1}^{(n - 1)} (x) \end{matrix}|

引理1 （

Borwein et al.， 1995）

(f_{0}, f_{1}, \dots, f_{n - 1})

是

L

上的一个ECT-系统，当且仅当对任意的

k = 0,1, \dots, n - 1

，

W [f_{0}, \dots, f_{k - 1}] (x) \neq 0, 对所 有的 x \in L .

Iliev（1998）给出了系统（3）在二次扰动下的二阶Melnikov函数.

译

引理 2 （

Iliev， 1998）系统（3）周期环域在二次扰动下所对应的二阶Melnikov函数为

译

M_{2} (h) = \oint_{γ_{h}}^{} {(1 + x)}^{2 F - 1} (a y + \frac{b y}{1 + x} + \frac{c x}{y}) d x,

其中 $a, b, c$ 是任意常数.

定理2 （

Grau et al.， 2011）考虑Abel积分

译

I_{i} (h) = \oint_{γ_{h}}^{} f_{i} (x) y^{2 s - 1} d x, i = 0,1, \dots, n - 1,

其中对于任意 $h \in (0, h_{0})$ ， $γ_{h}$ 是原点周围的水平椭圆曲线 ${A (x) + B (x) y^{2 m} = h}$ . 设 $σ$ 是关于 $A (x)$ 的对合，即 $A (x) = A (σ (x))$ . 定义

𝓁_{i} (x) = \frac{f_{i}}{A' B^{\frac{2 s - 1}{2 m}}} (u) - \frac{f_{i}}{A' B^{\frac{2 s - 1}{2 m}}} (σ (u)) .

若 $(𝓁_{0}, 𝓁_{1}, \dots, 𝓁_{n - 1})$ 是 $(0, x_{r})$ 上的一个CT-系统，并且 $s > m (n - 2)$ ，其中 $x_{r}$ 是 $γ_{h}$ 与 $x$ 轴最右边交点的横坐标，则 $(I_{0}, I_{1}, \dots, I_{n - 1})$ 是 $(0, h_{0})$ 上的一个ECT-系统.

引理3 （

Grau et al.， 2011）令

γ_{h}

是水平椭圆曲线蔟

{A (x) + B (x) y^{2 m} = h}

，考虑一个函数

F

，使得

\frac{F}{A^{'}}

在

x = 0

处解析. 则对于任意

k \in N

，有

\int_{γ_{h}} F (x) y^{k - 2} d x = \int_{γ_{h}} G (x) y^{k} d x,

其中 $G (x) = \frac{2}{k} {(\frac{B F}{A^{'}})}^{'} (x) - (\frac{B^{'} F}{A^{'}}) (x)$ .

2 定理1的证明

当 $F = \frac{1}{3}$ 时，系统（3）有1个中心 $(0,0)$ ，3个鞍点 $(3,0)$ ， $(- 1, - 2)$ ， $(- 1,2)$ . 除此之外，这里有3条不变直线，分别是 $x = - 1$ ， $y = \pm \frac{x - 3}{2}$ ，它们构成了系统的1个异宿轨；当 $F = - \frac{4}{3}$ 时，系统（3）有1个中心 $(0,0)$ ，1个鞍点 $(- \frac{3}{4}, 0)$ ，1个稳定结点 $(- 1, \frac{1}{2})$ 和1个不稳定结点 $(- 1, - \frac{1}{3})$ ，如图1所示.

图1 系统（3）的局部相图

Fig.1

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

当 $F = \frac{1}{3}$ 时，系统（3）的一个积分因子 $μ (x) = {(1 + x)}^{- \frac{1}{3}}$ ，对应的首次积分为

H_{1} (x, y) = A (x) + B (x) y^{2},

其中

译

A (x) = \frac{9}{4} - \frac{{(1 + x)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(x - 3)}^{2}}{4}, B (x) = {(1 + x)}^{\frac{2}{3}} .

围绕系统（3）中心的周期环域为

译

γ_{h} = \{(x, y)| H_{1} (x, y) = h, 0 < h < \frac{9}{4}\} .

当 $F = - \frac{4}{3}$ ，系统（3）的一个积分因子是 $m (x) = {(1 + x)}^{- \frac{11}{3}}$ ，对应的首次积分为

H_{2} (x, y) = \frac{9}{4} - \frac{{(1 + x)}^{- \frac{8}{3}} \cdot {(4 x + 3)}^{2}}{4} + {(1 + x)}^{- \frac{8}{3}} y^{2} .

对应（3）中心的周期环域为

译

Γ_{h} = \{(x, y)| H_{2} (x, y) = h, 0 < h < \frac{9}{4}\} .

下面我们讨论 $F = \frac{1}{3}$ 时，系统（3）的二阶Melnikov函数的零点个数. 由分部积分可得

\begin{array}{l} \oint_{γ_{h}}^{} {(1 + x)}^{i} y d x = \frac{1}{i + 1} \oint_{γ_{h}}^{} {(1 + x)}^{i + 1} \frac{x - F x^{2} + F y^{2}}{y (1 + x)} d x \\ = \frac{1}{i + 1} \oint_{γ_{h}}^{} {(1 + x)}^{i} (\frac{x - F x^{2}}{y}) d x + \frac{F}{i + 1} \oint_{γ_{h}}^{} {(1 + x)}^{i} y d x, \end{array}

即

译

\oint_{γ_{h}}^{} {(1 + x)}^{i} y d x = \frac{1}{i + 1 - F} \oint_{γ_{h}}^{} {(1 + x)}^{i} (\frac{x - F x^{2}}{y}) d x .

从而有

译

\oint_{γ_{h}}^{} {(1 + x)}^{- \frac{4}{3}} y d x = - \frac{3}{2} \oint_{γ_{h}}^{} {(1 + x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{x - \frac{1}{3} x^{2}}{y}) d x,

\oint_{γ_{h}}^{} {(1 + x)}^{- \frac{1}{3}} y d x = 3 \oint_{γ_{h}}^{} {(1 + x)}^{- \frac{1}{3}} (\frac{x - \frac{1}{3} x^{2}}{y}) d x .

经线性组合可得

译

M_{2} (h) = τ_{0} I_{0} (h) + τ_{1} I_{1} (h) + τ_{2} I_{2} (h),

其中

译

I_{0} (h) = \oint_{γ_{h}}^{} {(1 + x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{x}{y} d x, I_{1} (h) = \oint_{γ_{h}}^{} {(1 + x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{x}{y} d x, I_{2} (h) = \oint_{γ_{h}}^{} {(1 + x)}^{\frac{2}{3}} \frac{x}{y} d x,

$τ_{0}, τ_{1}, τ_{2}$ 是任意常数. 设

{(1 + x)}^{\frac{1}{3}} = 1 + u, x \in (- 1,3),

则

译

\begin{array}{l} d x = 3 {(1 + u)}^{2} d u, u \in (- 1, u_{0}), 其中 u_{0} = \sqrt[3]{4} - 1 \approx 0.587 4, \\ A (u) = \frac{9}{4} - \frac{{(1 + u)}^{2} \cdot {[{(1 + u)}^{3} - 4]}^{2}}{4}, B (u) = {(1 + u)}^{2} . \end{array}

从而

译

I_{0} (h) = 3 \oint_{γ_{h}}^{} \frac{{(1 + u)}^{3} - 1}{{(1 + u)}^{2} y} d u, I_{1} (h) = 3 \oint_{γ_{h}}^{} \frac{(1 + u) [{(1 + u)}^{3} - 1]}{y} d u, I_{2} (h) = 3 \oint_{γ_{h}}^{} \frac{{(1 + u)}^{4} [{(1 + u)}^{3} - 1]}{y} d u .

下面借助

Grau et al.（2011）给出的判别法（定理2）证明

(I_{0} (h), I_{1} (h), I_{2} (h))

构成一个ECT-系统.

由引理3有

译

\begin{array}{l} I_{0} (h) = 3 \oint_{γ_{h}}^{} \frac{(5 u^{3} + 15 u^{2} + 15 u - 3) y}{(u^{3} + 3 u^{2} {+ 3 u - 3)}^{2} {(1 + u)}^{2}} d u = \frac{3}{h} \oint_{γ_{h}}^{} \frac{(5 u^{3} + 15 u^{2} + 15 u - 3) (A (u) + B (u) y^{2}) y}{(u^{3} + 3 u^{2} {+ 3 u - 3)}^{2} {(1 + u)}^{2}} d u \\ = \frac{1}{4 h} \oint_{γ_{h}}^{} \frac{g_{0} (u) y^{3}}{(u^{2} {+ 3 u + 3)}^{2} (u^{3} + 3 u^{2} {+ 3 u - 3)}^{4} {(1 + u)}^{2}} d u, \end{array}

其中

译

\begin{array}{l} g_{0} (u) = 35 u^{15} + 595 u^{14} + 4 760 u^{13} + 23 418 u^{12} + 77 952 u^{11} + 181 818 u^{10} + 295 560 u^{9} + 314 226 u^{8} \\ + 166 311 u^{7} - 54 351 u^{6} - 149 364 u^{5} - 60 912 u^{4} + 56 538 u^{3} + 67 878 u^{2} + 18 144 u - 3 888 . \end{array}

同理可得

译

\begin{array}{l} I_{1} (h) = \frac{1}{2 h} \oint_{γ_{h}}^{} \frac{(1 + u) g_{1} (u) y^{3}}{(u^{2} {+ 3 u + 3)}^{2} (u^{3} + 3 u^{2} {+ 3 u - 3)}^{4}} d u, \\ I_{2} (h) = - \frac{1}{4 h} \oint_{γ_{h}}^{} \frac{{(1 + u)}^{4} g_{2} (u) y^{3}}{(u^{2} {+ 3 u + 3)}^{2} (u^{3} + 3 u^{2} {+ 3 u - 3)}^{4}} d u, \end{array}

其中

译

\begin{array}{l} g_{1} (u) = 10 u^{15} + 170 u^{14} + 1 360 u^{13} + 6 705 u^{12} + 22 470 u^{11} + 53 235 u^{10} + 89 460 u^{9} + 102 465 u^{8} \\ + 68 400 u^{7} + 4 617 u^{6} - 37 584 u^{5} - 30 294 u^{4} + 1 296 u^{3} + 18 630 u^{2} + 13 932 u + 3 888, \\ g_{2} (u) = 13 u^{15} + 221 u^{14} + 1 768 u^{13} + 8 532 u^{12} + 26 628 u^{11} + 52 416 u^{10} + 51 120 u^{9} - 29 700 u^{8} \\ - 171 603 u^{7} - 229 311 u^{6} - 90 396 u^{5} + 105 948 u^{4} + 124 254 u^{3} - 810 u^{2} - 55 080 u - 19 440 . \end{array}

记 $σ$ 是关于 $A (u)$ 的对合，即 $A (u) = A (σ (u))$ . 为了方便计算朗斯基行列式，假设 $z = σ (u)$ ，

𝓁_{i} (u) = \frac{f_{i}}{A' B^{\frac{3}{2}}} (u) - \frac{f_{i}}{A' B^{\frac{3}{2}}} (σ (u)) = L_{i} (u, z) .

下面利用定理2证明 ${𝓁_{0}, 𝓁_{1}, 𝓁_{2}}$ 在 $(0, \sqrt[3]{4} - 1)$ 上构成一个CT-系统. 事实上，因为朗斯基行列式更容易计算，所以下面证明 ${𝓁_{0}, 𝓁_{1}, 𝓁_{2}}$ 构成一个ECT-系统. 由于

\begin{array}{l} A (u) - A (z) = \frac{1}{4} (- z + u) (u^{3} + u^{2} z + u z^{2} + z^{3} + 4 u^{2} + 4 u z + 4 z^{2} + 6 u + 6 z) \\ \times (u^{4} + z^{4} + 4 u^{3} + 4 z^{3} + 6 u^{2} + 6 z^{2} - 6), \end{array}

这表明 $z = σ (u)$ 被定义为

q (u, z) = u^{3} + u^{2} z + u z^{2} + z^{3} + 4 u^{2} + 4 u z + 4 z^{2} + 6 u + 6 z,

并且

译

σ' (u) = - \frac{3 u^{2} + 2 u z + z^{2} + 8 u + 4 z + 6}{u^{2} + 2 u z + 3 z^{2} + 4 u + 8 z + 6} .

接下来借助数学软件来证明以下引理.

译

引理4 在 $F = \frac{1}{3}$ 时， ${𝓁_{0} (u), 𝓁_{1} (u), 𝓁_{2} (u)}$ 是开区间 $(0, \sqrt[3]{4} - 1)$ 上的一个ECT-系统.

证明由引理1可知，通过计算三个朗斯基行列式在所给区间没有零点即可证明此引理. 首先，

译

W [L_{0} (u, z)] = \frac{(u - z) ϕ_{0} (u, z)}{24 u z {(1 + u)}^{6} {(1 + z)}^{6} C {(u)}^{3} C {(z)}^{3} D {(u)}^{5} D {(z)}^{5}},

其中 $ϕ_{0} (u, z)$ 是一个42次多项式，

C (u) = u^{2} + 3 u + 3, D (u) = u^{3} + 3 u^{2} + 3 u - 3 .

$q (u, z)$ 和 $ϕ_{0} (u, z)$ 关于 $z$ 的结式为

R_{0} (u, z) = {(u + 1)}^{15} (u^{2} {+ 3 u + 3)}^{2} (u^{3} + 3 u^{2} {+ 3 u - 3)}^{15} r_{0} (u),

(5)

其中 $r_{0} (u)$ 是一个关于 $u$ 的62次多项式. 注意， $r_{0} (0) = 14 281 868 906 496$ ， $r_{0} (\sqrt[3]{4} - 1) > 0$ ，并且 $r_{0} (u)$ 在 $(0,1)$ 上有最小值 $r_{0} (0.096 4) = 1.763 3 \times 10^{12}$ .因此， $ϕ_{0} (u, z) = 0$ 和 $q (u, z) = 0$ 没有相同的根，这意味着对任意的 $u \in (0, \sqrt[3]{4} - 1)$ 有 $W [L_{0} (u, z)] \neq 0$ .

计算可得

译

W [L_{0} (u, z), L_{1} (u, z)] = \frac{ϕ_{1} (u, z)}{48 u^{2} z^{2} {(1 + u)}^{10} {(1 + z)}^{10} (u^{2} + 2 u z + 3 z^{2} + 4 u + 8 z + 6) C {(u)}^{5} C {(z)}^{5} D {(u)}^{9} D {(z)}^{9}},

其中 $ϕ_{1} (u, z)$ 是一个关于 $(u, z)$ 的76次多项式. $q (u, z)$ 和 $ϕ_{1} (u, z)$ 关于 $z$ 的结式为

R_{1} (u, z) = 1 024 u^{3} {(u + 1)}^{21} (u^{2} {+ 3 u + 3)}^{5} (u^{3} + 3 u^{2} {+ 3 u - 3)}^{29} r_{1} (u),

(6)

其中 $r_{1} (u)$ 是一个关于 $u$ 的98次多项式. 通过计算，

r_{1} (0) = 412 894 405 728 420 456 038 400, r_{1} (\sqrt[3]{4} - 1) > 0,

且 $r_{1} (u)$ 在 $(0,1)$ 上有最小值 $r_{0} (0.558 7) = 9.001 3 \times 10^{22}$ . 由此可以断言，对于任意的 $u \in (0, \sqrt[3]{4} - 1)$ ， $W [L_{0} (u, z), L_{1} (u, z)] \neq 0$ .

最后，根据计算可得

译

\begin{array}{l} W [L_{0} (u, z), L_{1} (u, z), L_{2} (u, z)] \\ = \frac{ϕ_{2} (u, z)}{64 u^{3} z^{3} {(1 + u)}^{12} {(1 + z)}^{12} (u^{2} + 2 u z + 3 z^{2} {+ 4 u + 8 z + 6)}^{3} C {(u)}^{7} C {(z)}^{7} D {(u)}^{12} D {(z)}^{12}}, \end{array}

其中 $ϕ_{2} (u, z)$ 是一个93次多项式. $q (u, z)$ 和 $ϕ_{2} (u, z)$ 关于 $z$ 的结式为

R_{2} (u, z) = 4 194 304 u^{6} {(u + 1)}^{21} (u^{2} {+ 3 u + 3)}^{8} (u^{3} + 3 u^{2} {+ 3 u - 3)}^{37} r_{2} (u),

(7)

其中 $r_{2} (u)$ 是一个关于 $u$ 的146次多项式. 通过计算， $r_{2} (0) > 0$ ， $r_{2} (\sqrt[3]{4} - 1) > 0$ 且 $r_{2} (u)$ 在 $(0,1)$ 上有最小值 $r_{0} (0.588 9) = 2.519 9 \times 10^{33}$ . 所以 $W [L_{0} (u, z), L_{1} (u, z), L_{2} (u, z)] \neq 0$ ，对于所有的 $u \in (0, \sqrt[3]{4} - 1)$ . 由定理2即可得这个引理.

当 $F = - \frac{4}{3}$ 时，可以得到

M_{2} (h) = ς_{0} J_{0} (h) + ς_{1} J_{1} (h) + ς_{2} J_{2} (h),

其中

译

J_{0} (h) = \oint_{γ_{h}}^{} {(1 + x)}^{- \frac{14}{3}} \frac{x}{y} d x, J_{1} (h) = \oint_{γ_{h}}^{} {(1 + x)}^{- \frac{11}{3}} \frac{x}{y} d x, J_{2} (h) = \oint_{γ_{h}}^{} {(1 + x)}^{- \frac{8}{3}} \frac{x}{y} d x,

$ς_{0}, ς_{1}, ς_{2}$ 是任意常数.

令 $1 + x = \frac{1}{1 + X}, y = \frac{Y}{1 + X} .$ 则

H_{2} (\frac{1}{1 + X} - 1, \frac{Y}{1 + X}) = \frac{9}{4} - \frac{{(1 + X)}^{\frac{2}{3}} {(X - 3)}^{2}}{4} + {(1 + X)}^{\frac{2}{3}} Y^{2} = H_{1} (X, Y),

且

译

J_{0} (h) = \oint_{γ_{h}}^{} \frac{{(1 + X)}^{\frac{8}{3}} X}{Y} d X, J_{1} (h) = \oint_{γ_{h}}^{} \frac{{(1 + X)}^{\frac{5}{3}} X}{Y} d X, J_{2} (h) = \oint_{γ_{h}}^{} \frac{{(1 + X)}^{\frac{2}{3}} X}{Y} d X .

令 ${(1 + X)}^{\frac{1}{3}} = 1 + v$ 可得

\begin{array}{l} J_{0} (h) = 3 \oint_{γ_{h}}^{} \frac{{(1 + v)}^{10} [{(1 + v)}^{3} - 1]}{Y} d v, J_{1} (h) = 3 \oint_{γ_{h}}^{} \frac{{(1 + v)}^{7} [{(1 + v)}^{3} - 1]}{Y} d v, \\ J_{2} (h) = 3 \oint_{γ_{h}}^{} \frac{{(1 + v)}^{4} [{(1 + v)}^{3} - 1]}{Y} d v . \end{array}

与 $F = \frac{1}{3}$ 时计算方法相同，可以得到

\begin{array}{l} J_{0} (h) = - \frac{1}{4 h} \oint_{γ_{h}}^{} \frac{{(1 + v)}^{10} G_{0} (v) Y^{3}}{(v^{2} {+ 3 v + 3)}^{2} (v^{3} + 3 v^{2} {+ 3 v - 3)}^{4}} d v, \\ J_{1} (h) = - \frac{2}{h} \oint_{γ_{h}}^{} \frac{{(1 + v)}^{7} G_{1} (v) Y^{3}}{(v^{2} {+ 3 v + 3)}^{2} (v^{3} + 3 v^{2} {+ 3 v - 3)}^{4}} d v, \\ J_{2} (h) = - \frac{1}{4 h} \oint_{γ_{h}}^{} \frac{{(1 + v)}^{4} G_{2} (v) Y^{3}}{(v^{2} {+ 3 v + 3)}^{2} (v^{3} + 3 v^{2} {+ 3 v - 3)}^{4}} d v, \end{array}

其中

译

\begin{array}{l} G_{0} (v) = 133 v^{15} + 2 261 v^{14} + 18 088 v^{13} + 88 218 v^{12} + 285 432 v^{11} + 620 802 v^{10} + 851 400 v^{9} + 518 562 v^{8} \\ - 434 151 v^{7} - 1 138 941 v^{6} - 695 628 v^{5} + 333 720 v^{4} + 596 646 v^{3} + 89 586 v^{2} - 162 000 v - 42 768, \\ G_{1} (v) = 8 v^{15} + 136 v^{14} + 1 088 v^{13} + 5 301 v^{12} + 17 094 v^{11} + 36 855 v^{10} + 49 320 v^{9} + 26 433 v^{8} - 33 840 v^{7} \\ - 75 735 v^{6} - 43 416 v^{5} + 24 624 v^{4} + 40 500 v^{3} + 5 184 v^{2} - 12 474 v - 3 888, \\ G_{2} (v) = 13 v^{15} + 221 v^{14} + 1 768 v^{13} + 8 532 v^{12} + 26 628 v^{11} + 52 416 v^{10} + 51 120 v^{9} - 29 700 v^{8} - 171 603 v^{7} \\ - 229 311 v^{6} - 90 396 v^{5} + 105 948 v^{4} + 124 254 v^{3} - 810 v^{2} - 55 080 v - 19 440 . \end{array}

引理5 当 $F = - \frac{4}{3}$ 时， ${𝓁_{0} (v), 𝓁_{1} (v), 𝓁_{2} (v)}$ 是开区间 $(0, \sqrt[3]{4} - 1)$ 上的一个ECT-系统.

证明通过计算可得

译

\begin{array}{l} W [L_{2} (v, z)] = \frac{(v - z) φ_{0} (v, z)}{24 v z C {(v)}^{3} C {(z)}^{3} D {(v)}^{5} D {(z)}^{5}}, \\ W [L_{1} (v, z), L_{2} (v, z)] = \frac{φ_{1} (v, z)}{12 v^{2} z^{2} (v^{2} + 2 v z + 3 z^{2} + 4 v + 8 z + 6) C {(v)}^{5} C {(z)}^{5} D {(v)}^{9} D {(z)}^{9}}, \\ W [L_{0} (v, z), L_{1} (v, z), L_{2} (v, z)] \\ = \frac{φ_{2} (v, z)}{16 v^{3} z^{3} {(1 + v)}^{12} {(1 + z)}^{12} (v^{2} + 2 v z + 3 z^{2} {+ 4 v + 8 z + 6)}^{3} C {(v)}^{7} C {(z)}^{7} D {(v)}^{12} D {(z)}^{12}}, \end{array}

其中 $φ_{0} (v, z)$ ， $φ_{1} (v, z)$ ， $φ_{2} (v, z)$ 分别是一个关于 $(v, z)$ 的36，68，97次多项式. $q (v, z)$ 和 $φ_{i} (v, z)$ 关于 $z$ 的结式分别为

\begin{array}{l} p_{0} (v) = {(v^{2} + 3 v + 3)}^{2} {(v^{3} + 3 v^{2} + 3 v - 3)}^{10} ψ_{0} (v), \\ p_{1} (v) = 16 384 v^{3} {(v^{2} + 3 v + 3)}^{5} {(v^{3} + 3 v^{2} + 3 v - 3)}^{22} ψ_{1} (v), \\ p_{2} (v) = - 46 036 680 704 v^{6} {(v^{2} + 3 v + 3)}^{8} {(v^{3} + 3 v^{2} + 3 v - 3)}^{30} ψ_{2} (v), \end{array}

其中 $ψ_{0} (v)$ ， $ψ_{1} (v)$ ， $ψ_{2} (v)$ 分别是一个关于 $v$ 的74，104，158次多项式，且

\begin{array}{l} ψ_{0} (0) = - 595 077 871 104 000, \\ ψ_{1} (0) = 364 318 593 289 782 755 328 000, \\ ψ_{2} (0) = - 296 597 812 177 538 144 422 199 707 041 792 000 . \end{array}

通过计算我们知道： $ψ_{0} (0)$ 是 $ψ_{0} (v)$ 在 $(0,1)$ 上的最大值；当 $v \approx 0.570 0$ 时， $ψ_{1} (v)$ 在 $(0,1)$ 上有最小值 $7.399 3 \times 10^{21}$ ；对于 $ψ_{2} (v)$ ，由Sturm定理可知其在 $(0, \sqrt[3]{4} - 1)$ 上没有零点. 所以，对于任意 $u \in (0, \sqrt[3]{4} - 1)$ ，3个朗斯基行列式 $W [L_{0} (v, z), L_{1} (v, z), L_{2} (v, z)]$ ， $W [L_{1} (v, z), L_{2} (v, z)]$ ， $W [L_{2} (v, z)]$ 在 $(0, \sqrt[3]{4} - 1)$ 上无零点. 从而可知 ${𝓁_{0} (v), 𝓁_{1} (v), 𝓁_{2} (v)}$ 是开区间 $(0, \sqrt[3]{4} - 1)$ 上的一个ECT-系统.

定理1的证明由引理2，引理4和引理5可得定理1.

译

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摘要

Abstract

关键词

可逆LV系统Abel积分极限环亏格1

Keywords

reversible Lotka-Volterra systemAbelian integrallimit cyclesgenus one

references

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