图1 系统(3)的局部相图
纸质出版日期:2023-11-25,
网络出版日期:2023-07-27,
收稿日期:2022-09-27,
录用日期:2023-02-26
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主要研究两个亏格不为1的二次可逆Lotka-Volterra系统的周期环域在小扰动下产生极限环的个数问题. 应用完全切比雪夫系统的性质来判定该系统的二阶Melnikov函数的零点个数,从而证明了在二次扰动下,这两个系统的周期环域能分支出两个极限环.
The number of limit cycles bifurcated from the periodic annulus of two quadratic reversible Lotka-Volterra systems with non-genus 1 under small bifurcations is studied. Using the properties of complete Chebyshev systems to estimate the number of zeros of second-order Melnikov function, it is proven that the number of limit cycles bifurcated from the periodic annulus of the two quadratic reversible Lotka-Volterra systems are both 2 under quadratic perturbations.
自从Hilbert第16个问题被提出以来,极限环个数的问题就成为平面微分系统定性理论研究的热点问题之一. 我们研究具有小扰动项的多项式可积系统
(1) |
其中是对应的积分因子. 用环性表示多项式系统在小扰动下分支出的最大极限环个数. 研究Abel积分孤立零点个数问题涉及弱化的Hilbert第16问题.系统(1)的后继函数可表示为
其中定义在流的一个横截线段上,这个流由哈密顿函数给出. 称为阶Melnikov函数. 未扰可积系统的周期环域在扰动下产生极限环个数的上界等于中第一个非零的Melnikov函数的零点个数.
在文献(
:
:
:
-:
其中表示任意实常数.
或
(2) |
其中是一个实数. 当时,系统(2)可化为
(3) |
系统(3)在二次小扰动下的方程为
(4) |
其中是一个小参数,和是关于,,的二次多项式. 如果系统(4)的积分曲线是椭圆曲线(即代数曲线的亏格为1或代数曲线的次数不超过5次),
定理1 当和,系统(3)在二次扰动下的周期环环性为2.
我们借助切比雪夫系统性质证明主要结果. 首先介绍了切比雪夫系统的定义以及相关的一些结论.
定义1 令是开区间上的解析函数.
(a)如果任何非平凡线性组合
在上至多有个孤立零点,则是上的一个切比雪夫系统(简称,T-系统).
(b)如果对于任意的,是上的一个切比雪夫系统,则称是上的一个完全切比雪夫系统(简称, CT-系统).
(c)如果对于任意的,所有非平凡线性组合
在上至多有个孤立零点(计算重数),则称是上的一个广义的完全切比雪夫系统(简称, ECT-系统).
显然,ECT-系统是CT-系统,反之不成立. ECT-系统考虑零点重数,但CT-系统不考虑零点重数. 下面介绍ECT-系统的一些性质.
定义2 令是开区间上的解析函数. 在处的连续朗斯基行列式为
. |
引理1 (
引理 2 (
其中是任意常数.
定理2 (
其中对于任意,是原点周围的水平椭圆曲线. 设是关于的对合, 即. 定义
若是上的一个CT-系统,并且,其中是与轴最右边交点的横坐标,则是上的一个ECT-系统.
引理3 (
其中.
当时,系统(3)有1个中心,3个鞍点,,. 除此之外,这里有3条不变直线,分别是,,它们构成了系统的1个异宿轨;当时,系统(3)有1个中心,1个鞍点,1个稳定结点和1个不稳定结点,如
图1 系统(3)的局部相图
Fig.1
当时,系统(3)的一个积分因子,对应的首次积分为
其中
围绕系统(3)中心的周期环域为
当,系统(3)的一个积分因子是,对应的首次积分为
对应(3)中心的周期环域为
下面我们讨论时,系统(3)的二阶Melnikov函数的零点个数. 由分部积分可得
即
从而有
经线性组合可得
其中
是任意常数. 设
则
从而
下面借助
由引理3有
其中
同理可得
其中
记是关于的对合,即. 为了方便计算朗斯基行列式,假设,
下面利用定理2证明在上构成一个CT-系统. 事实上,因为朗斯基行列式更容易计算,所以下面证明构成一个ECT-系统. 由于
这表明被定义为
并且
接下来借助数学软件来证明以下引理.
引理4 在时,是开区间上的一个ECT-系统.
证明 由引理1可知,通过计算三个朗斯基行列式在所给区间没有零点即可证明此引理. 首先,
其中是一个42次多项式,
和关于的结式为
其中是一个关于的62次多项式. 注意,,,并且在上有最小值.因此,和没有相同的根,这意味着对任意的有.
计算可得
其中是一个关于的76次多项式. 和关于的结式为
其中是一个关于的98次多项式. 通过计算,
且在上有最小值. 由此可以断言,对于任意的, .
最后,根据计算可得
其中是一个93次多项式. 和关于的结式为
其中是一个关于的146次多项式. 通过计算,,且在上有最小值. 所以,对于所有的. 由定理2即可得这个引理.
当时,可以得到
其中
是任意常数.
令 则
且
令可得
与时计算方法相同,可以得到
其中
引理5 当时,是开区间上的一个ECT-系统.
证明 通过计算可得
其中,,分别是一个关于的36,68,97次多项式. 和关于的结式分别为
其中,,分别是一个关于的74,104,158次多项式,且
通过计算我们知道:是在上的最大值;当时,在上有最小值;对于,由Sturm定理可知其在上没有零点. 所以,对于任意,3个朗斯基行列式,, 在上无零点. 从而可知是开区间上的一个ECT-系统.
定理1的证明 由引理2,引理4和引理5可得定理1.
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