欢迎访问《中山大学学报(自然科学版)(中英文)》! English Version 维普资讯 中国知网 万方数据
研究论文 | 更新时间:2023-12-08
    • 亏格不为1的二次可逆LV系统的极限环分支

    • Bifurcation of limit cycles for quadratic reversible Lotka-Volterra systems with non-genus one

    • 吴莎

      ,  

      吴奎霖

      ,  
    • 中山大学学报(自然科学版)(中英文)   2023年62卷第6期 页码:127-134
    • DOI:10.13471/j.cnki.acta.snus.2022A083    

      中图分类号: O175.21
    • 纸质出版日期:2023-11-25

      网络出版日期:2023-07-27

      收稿日期:2022-09-27

      录用日期:2023-02-26

    扫 描 看 全 文

  • 引用本文

    阅读全文PDF

  • 吴莎,吴奎霖.亏格不为1的二次可逆LV系统的极限环分支[J].中山大学学报(自然科学版),2023,62(06):127-134. DOI: 10.13471/j.cnki.acta.snus.2022A083.

    WU Sha,WU Kuilin.Bifurcation of limit cycles for quadratic reversible Lotka-Volterra systems with non-genus one[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni,2023,62(06):127-134. DOI: 10.13471/j.cnki.acta.snus.2022A083.

  •  
  •  
    论文导航

    摘要

    主要研究两个亏格不为1的二次可逆Lotka-Volterra系统的周期环域在小扰动下产生极限环的个数问题. 应用完全切比雪夫系统的性质来判定该系统的二阶Melnikov函数的零点个数,从而证明了在二次扰动下,这两个系统的周期环域能分支出两个极限环.

    Abstract

    The number of limit cycles bifurcated from the periodic annulus of two quadratic reversible Lotka-Volterra systems with non-genus 1 under small bifurcations is studied. Using the properties of complete Chebyshev systems to estimate the number of zeros of second-order Melnikov function, it is proven that the number of limit cycles bifurcated from the periodic annulus of the two quadratic reversible Lotka-Volterra systems are both 2 under quadratic perturbations.

    关键词

    可逆LV系统; Abel积分; 极限环; 亏格1

    Keywords

    reversible Lotka-Volterra system; Abelian integral; limit cycles; genus one

    自从Hilbert第16个问题被提出以来,极限环个数的问题就成为平面微分系统定性理论研究的热点问题之一. 我们研究具有小扰动项的多项式可积系统

    x˙=-1MHy+εF(x,y,ε),y˙=1MHx+εG(x,y,ε), (1)

    其中M(x,y)是对应H(x,y)的积分因子. 用环性表示多项式系统在小扰动下分支出的最大极限环个数. 研究Abel积分I(h)孤立零点个数问题涉及弱化的Hilbert第16问题.系统(1)的后继函数可表示为

    d(h,θ)=θM1(h)+θ2M2(h)++θkMk(h)+,

    其中d(h,θ)定义在流的一个横截线段上,这个流由哈密顿函数H=h给出. 称Mk(h)k阶Melnikov函数. 未扰可积系统(1)ε=0的周期环域在扰动下产生极限环个数的上界等于d(h,ε)中第一个非零的Melnikov函数Mk(h)的零点个数.

    在文献(

    Zoladek, 1994)里,中心在原点的平面二次系统分为以下几类:

    哈密顿系(Q3H)z˙=-iz+z2+2z2+(b+ic)z¯2,

    余维4系统(Q4)z˙=-iz+4z2+2z2+(b+ic)z¯2,b+ic=2,

    可逆系统(Q3R) z˙=-iz+z2+(b+ic)z¯2,

    Lotka-Volterra系统(Q3LV)z˙=-iz+az2+2z2+bz¯2,

    其中z=-xi+y,a,b,c表示任意实常数.

    Zoladek(1994)称一个可逆二次系统为通有的,如果它不属于上面分类中的其他几类. 反之,Iliev(1998)证明:对于通有情形,只需要研究一阶Melnikov函数M1(h)的零点个数;对应退化情形,需要研究高阶Melnikov函数M2(h)M3(h)(只针对哈密顿三角系统). 如果二次中心属于哈密顿情形Q3H(i.e. n=2所对应的弱化Hilbert第16问题),Horozov et al.(1994)Li(2002)证明其环性为2. 对于Q4中的通有系统,Gavrilov et al.(2009)证明了其环性小于等于8,其后Zhao(2011)将其环性降低到5. Zoladek(1994)证明了Q3LV中的通有系统的环性为2. 到目前为止,Q3R的环性仍是公开问题. Liu(2012)证明了Q3R环性不超过4. Gavrilov et al.(2000)证明Q3HQ3R的环性为2. Iliev(1996)证明了哈密顿三角形QΔH的环性为3,之后Iliev(1997)又证明了Q4Q3R中的退化系统环性为2. 对于Q3LVQ3R,它可表示为

    z˙=-iz+z2+bz¯2,

    x˙=-y+2(1-b)xy,y˙=x+(1+b)x2-(1+b)y2, (2)

    其中b是一个实数. 当b1时,系统(2)可化为

    x˙=-y(1+x),y˙=x-Fx2+Fy2. (3)

    系统(3)在二次小扰动下的方程为

    x˙=-y(1+x)+εf(x,y,ε),y˙=x-Fx2+Fy2+εg(x,y,ε), (4)

    其中ε是一个小参数,fg是关于εxy的二次多项式. 如果系统(4)的积分曲线是椭圆曲线(即代数曲线的亏格为1或代数曲线的次数不超过5次),

    Gautier et al.(2009)把亏格1的二次可逆Lotka-Volterr系统(Q3RQ3LV)分为11种情形:(lv1)-(lv5)和(rlv1)-(rlv6),并且给出了一个猜想:当原点为二次可逆Lotka-Volterr系统的中心时,系统(rlv1)的周期环域在二次小扰动下的环性为3,其他10类系统所对应的环性为2. 到目前为止,上述11种情形的环性问题已经被解决,详情参考文献(Iliev, 1998Li et al., 2009Grau et al., 2011Shao et al., 2011Shao et al., 2013Peng et al., 2014Wu et al., 2014). 之前的研究结果主要关注于积分曲线是亏格1的二次中心. 我们研究积分曲线是非亏格1的Lotka-Volterra系统(4),即考虑F=13F=-43这两种特殊情况,其积分曲线可转化为6次代数曲线. 下面是本文的主要结果.

    定理1  F=13F=-43,系统(3)在二次扰动下的周期环环性为2.

    1 预备知识

    我们借助切比雪夫系统性质证明主要结果. 首先介绍了切比雪夫系统的定义以及相关的一些结论.

    定义1  f0(x),f1(x),,fn-1(x)是开区间LR上的解析函数.

    (a)如果任何非平凡线性组合

    α0f0(x)+α1f1(x)++αn-1fn-1(x)

    L上至多有n-1个孤立零点,则(f0(x),f1(x),,fn-1(x))L上的一个切比雪夫系统(简称,T-系统).

    (b)如果对于任意的k=1,2,,n(f0(x),f1(x),,fk-1(x))L上的一个切比雪夫系统,则称(f0(x),f1(x),,fn-1(x))L上的一个完全切比雪夫系统(简称, CT-系统).

    (c)如果对于任意的k=1,2,,n,所有非平凡线性组合

    α0f0(x)+α1f1(x)++αk-1fk-1(x)

    L上至多有k-1个孤立零点(计算重数),则称(f0(x),f1(x),,fn-1(x))L上的一个广义的完全切比雪夫系统(简称, ECT-系统).

    显然,ECT-系统是CT-系统,反之不成立. ECT-系统考虑零点重数,但CT-系统不考虑零点重数. 下面介绍ECT-系统的一些性质.

    定义2  f0(x),f1(x),,fn-1(x)是开区间LR上的解析函数. (f0(x),f1(x),,fn-1(x))xL处的连续朗斯基行列式为

    Wf0,, fn-1(x)=detfj-1(i-1)(x)1i, jn=f0(x)fn-1(x)f0'(x)fn-1'(x)f0(n-1)(x)fn-1(n-1)(x) .

    引理1  

    Borwein et al., 1995(f0,f1,,fn-1)L上的一个ECT-系统,当且仅当对任意的k=0,1,,n-1

    Wf0,, fk-1(x)0, 对所有的xL .

    Iliev(1998)给出了系统(3)在二次扰动下的二阶Melnikov函数.

    引理 2  

    Iliev, 1998) 系统(3)周期环域在二次扰动下所对应的二阶Melnikov函数为

    M2(h)=γh(1+x)2F-1ay+by1+x+cxydx,

    其中a,b,c是任意常数.

    定理2  

    Grau et al., 2011) 考虑Abel积分

    Ii(h)=γhfi(x)y2s-1dx,    i=0,1,, n-1,

    其中对于任意h(0,h0)γh是原点周围的水平椭圆曲线{A(x)+B(x)y2m=h}. 设σ是关于A(x)的对合, 即A(x)=A(σ(x)). 定义

    𝓁i(x)=fiA'B2s-12m(u)-fiA'B2s-12m(σ(u)).

    (𝓁0,𝓁1,,𝓁n-1)(0,xr)上的一个CT-系统,并且s>m(n-2),其中xrγhx轴最右边交点的横坐标,则(I0,I1,,In-1)(0,h0)上的一个ECT-系统.

    引理3  

    Grau et al., 2011) 令γh是水平椭圆曲线蔟{A(x)+B(x)y2m=h},考虑一个函数F,使得FA'x=0处解析. 则对于任意kN,有

    γhF(x)yk-2dx=γhG(x)ykdx,

    其中G(x)=2kBFA''(x)-B'FA'(x).

    2 定理1的证明

    F=13时,系统(3)有1个中心(0,0),3个鞍点(3,0)(-1,-2)(-1,2). 除此之外,这里有3条不变直线,分别是x=-1y=±x-32,它们构成了系统的1个异宿轨;当F=-43时,系统(3)有1个中心(0,0),1个鞍点-34,0,1个稳定结点-1,12和1个不稳定结点-1,-13,如图1所示.

    fig

    图1  系统(3)的局部相图

    Fig.1  

    icon 下载:  原图 | 高精图 | 低精图

    F=13时,系统(3)的一个积分因子μ(x)=(1+x)-13,对应的首次积分为

    H1(x,y)=A(x)+B(x)y2,

    其中

    A(x)=94-(1+x)23(x-3)24,     B(x)=(1+x)23.

    围绕系统(3)中心的周期环域为

    γh=(x,y)H1(x,y)=h, 0<h<94.

    F=-43,系统(3)的一个积分因子是m(x)=(1+x)- 113,对应的首次积分为

    H2(x,y)=94-(1+x)- 83(4x+3)24+(1+x)-83y2.

    对应(3)中心的周期环域为

    Γh=(x,y)H2(x,y)=h, 0<h<94.

    下面我们讨论F=13时,系统(3)的二阶Melnikov函数的零点个数. 由分部积分可得

    γh(1+x)iydx=1i+1γh(1+x)i+1x-Fx2+Fy2y(1+x)dx=1i+1γh(1+x)ix-Fx2ydx+Fi+1γh(1+x)iydx,

    γh(1+x)iydx=1i+1-Fγh(1+x)ix-Fx2ydx .

    从而有

    γh(1+x)- 43ydx=-32γh(1+x)- 43x-13x2ydx,
    γh(1+x)- 13ydx=3γh(1+x)- 13x-13x2ydx .

    经线性组合可得

    M2(h)=τ0I0(h)+τ1I1(h)+τ2I2(h),

    其中

    I0(h)=γh(1+x)- 43xydx, I1(h)=γh(1+x)- 13xydx,  I2(h)=γh(1+x) 23xydx, 

    τ0,τ1,τ2是任意常数. 设

    (1+x) 13=1+u,   x(-1,3),

    dx=3(1+u)2du,   u(-1, u0),   其中 u0=43-10.587 4,A(u)=94-(1+u)2(1+u)3-424,       B(u)=(1+u)2 .

    从而

    I0(h)=3γh(1+u)3-1(1+u)2ydu,I1(h)=3γh(1+u)(1+u)3-1ydu,I2(h)=3γh(1+u)4(1+u)3-1ydu. 

    下面借助

    Grau et al.(2011)给出的判别法(定理2)证明I0h,I1h,I2h构成一个ECT-系统.

    由引理3有

    I0(h)=3γh(5u3+15u2+15u-3)y(u3+3u2+3u-3)2(1+u)2du=3hγh(5u3+15u2+15u-3)(A(u)+B(u)y2)y(u3+3u2+3u-3)2(1+u)2du=14hγhg0(u)y3(u2+3u+3)2(u3+3u2+3u-3)4(1+u)2du,

    其中

    g0(u)=35u15+595u14+4 760u13+23 418u12+77 952u11+181 818u10+295 560u9+314 226u8+166 311u7-54 351u6-149 364u5-60 912u4+56 538u3+67 878u2+18 144u-3 888 .

    同理可得

    I1(h)=12hγh(1+u)g1(u)y3(u2+3u+3)2(u3+3u2+3u-3)4du,I2(h)=-14hγh(1+u)4g2(u)y3(u2+3u+3)2(u3+3u2+3u-3)4du,

    其中

    g1(u)=10u15+170u14+1 360u13+6 705u12+22 470u11+53 235u10+89 460u9+102 465u8+68 400u7+4 617u6-37 584u5-30 294u4+1 296u3+18 630u2+13 932u+3 888 ,g2(u)=13u15+221u14+1 768u13+8 532u12+26 628u11+52 416u10+51 120u9-29 700u8-171 603u7-229 311u6-90 396u5+105 948u4+124 254u3-810u2-55 080u-19 440 .

    σ是关于A(u)的对合,即A(u)=A(σ(u)). 为了方便计算朗斯基行列式,假设z=σ(u)

    𝓁i(u)=fiA'B32(u)-fiA'B32(σ(u))=Li(u, z) .

    下面利用定理2证明{𝓁0,𝓁1,𝓁2}(0,43-1)上构成一个CT-系统. 事实上,因为朗斯基行列式更容易计算,所以下面证明{𝓁0,𝓁1,𝓁2}构成一个ECT-系统. 由于

    A(u)-A(z)=14(-z+u)(u3+u2z+uz2+z3+4u2+4uz+4z2+6u+6z)× (u4+z4+4u3+4z3+6u2+6z2-6),

    这表明z=σ(u)被定义为

    q(u,z)=u3+u2z+uz2+z3+4u2+4uz+4z2+6u+6z,

    并且

    σ'(u)=-3u2+2uz+z2+8u+4z+6u2+2uz+3z2+4u+8z+6 .

    接下来借助数学软件来证明以下引理.

    引理4  F=13时,{𝓁0(u),𝓁1(u),𝓁2(u)}是开区间(0,43-1)上的一个ECT-系统.

    证明   由引理1可知,通过计算三个朗斯基行列式在所给区间没有零点即可证明此引理. 首先,

    WL0(u, z)=(u-z)ϕ0(u, z)24uz(1+u)6(1+z)6C(u)3C(z)3D(u)5D(z)5,

    其中ϕ0(u,z)是一个42次多项式,

    C(u)=u2+3u+3,              D(u)=u3+3u2+3u-3.

    q(u,z)ϕ0(u,z)关于z的结式为

    R0(u,z)=(u+1)15(u2+3u+3)2(u3+3u2+3u-3)15r0(u), 5

    其中r0(u)是一个关于u的62次多项式. 注意,r0(0)=14 281 868 906 496r0(43-1)>0,并且r0(u)(0,1)上有最小值r0(0.096 4)=1.763 3×1012.因此,ϕ0(u,z)=0q(u,z)=0没有相同的根,这意味着对任意的u(0,43-1)W[L0(u,z)]0.

    计算可得

    WL0(u, z), L1(u, z)=ϕ1(u, z)48u2z2(1+u)10(1+z)10(u2+2uz+3z2+4u+8z+6)C(u)5C(z)5D(u)9D(z)9,

    其中ϕ1(u,z)是一个关于(u,z)的76次多项式. q(u,z)ϕ1(u,z)关于z的结式为

    R1(u,z)=1 024u3(u+1)21(u2+3u+3)5(u3+3u2+3u-3)29r1(u), 6

    其中r1(u)是一个关于u的98次多项式. 通过计算,

    r1(0)=412 894 405 728 420 456 038 400,         r1(43-1)>0,

    r1(u)(0,1)上有最小值r0(0.558 7)=9.001 3×1022. 由此可以断言,对于任意的u(0,43-1)WL0(u,z),L1(u,z)0.

    最后,根据计算可得

    WL0(u, z), L1(u, z), L2(u, z)=ϕ2(u, z)64u3z3(1+u)12(1+z)12(u2+2uz+3z2+4u+8z+6)3C(u)7C(z)7D(u)12D(z)12,

    其中ϕ2(u,z)是一个93次多项式. q(u,z)ϕ2(u,z)关于z的结式为

    R2(u,z)=4 194 304u6(u+1)21(u2+3u+3)8(u3+3u2+3u-3)37r2(u), 7

    其中r2(u)是一个关于u的146次多项式. 通过计算,r2(0)>0r2(43-1)>0r2(u)(0,1)上有最小值r0(0.588 9)=2.519 9×1033. 所以W[L0(u,z),L1(u,z),L2(u,z)]0,对于所有的u(0,43-1). 由定理2即可得这个引理.

    F=-43时,可以得到

    M2(h)=ς0J0(h)+ς1J1(h)+ς2J2(h),

    其中

    J0(h)=γh(1+x)- 143xydx, J1(h)=γh(1+x)- 113xydx,  J2(h)=γh(1+x)- 83xydx, 

    ς0,ς1,ς2是任意常数.

    1+x=11+X, y=Y1+X.

    H211+X-1,Y1+X=94-(1+X)23(X-3)24+(1+X)23Y2=H1(X,Y),

    J0(h)=γh(1+X)83XYdX, J1(h)=γh(1+X)53XYdX, J2(h)=γh(1+X)23XYdX.

    (1+X)13=1+v可得

    J0(h)=3γh(1+v)10(1+v)3-1Ydv,               J1(h)=3γh(1+v)7(1+v)3-1Ydv, J2(h)=3γh(1+v)4(1+v)3-1Ydv .

    F=13时计算方法相同,可以得到

    J0(h)=-14hγh(1+v)10G0(v)Y3(v2+3v+3)2(v3+3v2+3v-3)4dv,J1(h)=-2hγh(1+v)7G1(v)Y3(v2+3v+3)2(v3+3v2+3v-3)4dv,J2(h)=-14hγh(1+v)4G2(v)Y3(v2+3v+3)2(v3+3v2+3v-3)4dv,

    其中

    G0(v)=133v15+2 261v14+18 088v13+88 218v12+285 432v11+620 802v10+851 400v9+518 562v8-434 151v7-1 138 941v6-695 628v5+333 720v4+596 646v3+89 586v2-162 000v-42 768 ,G1(v)=8v15+136v14+1 088v13+5 301v12+17 094v11+36 855v10+49 320v9+26 433v8-33 840v7-75 735v6-43 416v5+24 624v4+40 500v3+5 184v2-12 474v-3 888 ,G2(v)=13v15+221v14+1 768v13+8 532v12+26 628v11+52 416v10+51 120v9-29 700v8-171 603v7-229 311v6-90 396v5+105 948v4+124 254v3-810v2-55 080v-19 440 .

    引理5  F=-43时,{𝓁0(v),𝓁1(v),𝓁2(v)}是开区间(0,43-1)上的一个ECT-系统.

    证明   通过计算可得

    WL2(v, z)=(v-z)φ0(v, z)24vzC(v)3C(z)3D(v)5D(z)5,WL1(v, z), L2(v, z)=φ1(v, z)12v2z2(v2+2vz+3z2+4v+8z+6)C(v)5C(z)5D(v)9D(z)9,WL0(v, z), L1(v, z), L2(v, z)                                  =φ2(v, z)16v3z3(1+v)12(1+z)12(v2+2vz+3z2+4v+8z+6)3C(v)7C(z)7D(v)12D(z)12,

    其中φ0(v,z)φ1(v,z)φ2(v,z)分别是一个关于(v,z)的36,68,97次多项式. q(v,z)φi(v,z)关于z的结式分别为

    p0(v)=v2+3v+32v3+3v2+3v-310ψ0(v),p1(v)=16 384v3v2+3v+35v3+3v2+3v-322ψ1(v),p2(v)=-46 036 680 704v6v2+3v+38v3+3v2+3v-330ψ2(v),

    其中ψ0(v)ψ1(v)ψ2(v)分别是一个关于v的74,104,158次多项式,且

    ψ0(0)=-595 077 871 104 000,ψ1(0)=364 318 593 289 782 755 328 000,ψ2(0)=-296 597 812 177 538 144 422 199 707 041 792 000.

    通过计算我们知道:ψ0(0)ψ0(v)(0,1)上的最大值;当v0.570 0时,ψ1(v)(0,1)上有最小值7.399 3×1021;对于ψ2(v),由Sturm定理可知其在(0,43-1)上没有零点. 所以,对于任意u(0,43-1),3个朗斯基行列式W[L0(v,z),L1(v,z),L2(v,z)]W[L1(v,z),L2(v,z)]W[L2(v,z)](0,43-1)上无零点. 从而可知{𝓁0(v),𝓁1(v),𝓁2(v)}是开区间(0,43-1)上的一个ECT-系统.

    定理1的证明 由引理2,引理4和引理5可得定理1.

    参考文献

    BORWEIN P BERDÉLYI T1995. Polynomials and polynomial inequalities[M]. New YorkSpringer Verlag. [百度学术] 

    GAUTIER SGAVRILOV LILIEV I D2009. Perturbations of quadratic centers of genus one[J]. Discrete Contin Dyn Syst252): 511-535. [百度学术] 

    GAVRILOV LILIEV I D2000. Second-order analysis in polynomially perturbed reversible quadratic Hamiltonian systems[J]. Ergod Th Dynam Sys206): 1671-1686. [百度学术] 

    GAVRILOV LILIEV I D2009. Quadratic perturbations of quadratic codimension-four centers[J]. J Math Anal Appl3571): 69-76. [百度学术] 

    GRAU MMAÑOSAS FVILLADELPRAT J2011. A Chebyshev criterion for abelian integrals[J]. Trans Amer Math Soc3631): 109-129. [百度学术] 

    HOROZOV EILIEV I D1994. On the number of limit cycles in perturbations of quadratic Hamiltonian systems[J]. Proc Lond Math Soc691): 198-224. [百度学术] 

    ILIEV I D1996. The cyclicity of the period annulus of the quadratic Hamiltonian triangle[J]. J Differ Equ1281): 309-326. [百度学术] 

    ILIEV I D1997. Inhomogeneous Fuchs equations and the limit cycles in a class of near-integrable quadratic systems[J]. Proc Roy Soc Edinburgh Sect A1276): 1207-1217. [百度学术] 

    ILIEV I D1998. Perturbations of quadratic centers[J]. Bull Sci Math1222): 107-161. [百度学术] 

    LI CLLIBRE J2009. The cyclicity of period annulus of a quadratic reversible Lotka-Volterra system[J]. Nonlinearity2212): 2971-2979. [百度学术] 

    LI C ZZHANG Z2002. Remarks on 16th weak Hilbert problem for n=2[J]. Nonlinearity156): 1975-1992. [百度学术] 

    LIU C J2012. The cyclicity of period annuli of a class of quadratic reversible systems with two centers[J]. J Differ Equ25210): 5260-5273. [百度学术] 

    PENG L PFENG Z SLIU C J2014. Quadratic perturbations of a quadratic reversible Lotka-Volterra systems with two centers[J]. Discrete Contin Dyn Syst3411): 4807-4826. [百度学术] 

    SHAO YCHUNXIANG A2013. Quadratic perturbations of a class of quadratic reversible Lotka-Volterra systems[J]. Int J Bifur Chaos238): 1350137. [百度学术] 

    SHAO YZHAO Y L2011. The cyclicity and period function of a class of quadratic reversible Lotka-Volterra system of genus one[J]. J Math Anal Appl3772): 817-827. [百度学术] 

    WU K LLIANG H H2014. Limit cycles bifurcating from a quadratic reversible Lotka-Volterra system with a center and three saddles[J]. Chin Ann Math Ser B3525-32. [百度学术] 

    ZHAO Y L2011. On the number of limit cycles in quadratic perturbations of quadratic codimension-four centres[J]. Nonlinearity249): 2505-2522. [百度学术] 

    ZOLADEK H1994. Quadratic systems with center and their perturbations[J]. J Differ Equ1092): 223-273. [百度学术] 

    0

    浏览量

    6

    下载量

    0

    CSCD

    文章被引用时,请邮件提醒。
    提交
    工具集
    下载
    参考文献导出
    分享
    收藏
    添加至我的专辑

    相关文章

    暂无数据

    相关作者

    吴奎霖

    相关机构

    暂无数据
    0