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余君丽; 张春霞

doi:10.13471/j.cnki.acta.snus.2022A030

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(n, d)

-（

E x t

）-phantom 态射与

(n, d)

-环

研究论文 | 更新时间：2024-01-25

- $(n, d)$ -（ $E x t$ ）-phantom 态射与 $(n, d)$ -环
- On $(n, d)$ -（ $E x t$ ）-phantom morphisms and $(n, d)$ -rings
- 角色： First author , 第一作者 ,
  
  机构：
  重庆师范大学数学科学学院，重庆 401331
  
  邮箱： 979598210@qq.com
  
  简介：余君丽（1998年生），女；研究方向：同调代数理论；E-mail：979598210@qq.com
  
  暂无本作者相关信息
  余君丽
  ，
  角色： Corresponding author , 通讯作者 ,
  
  机构：
  重庆师范大学数学科学学院，重庆 401331
  
  邮箱： cxzhang@cqnu.edu.cn
  
  简介：张春霞（1979年生），女；研究方向：同调代数理论；E-mail：cxzhang@cqnu.edu.cn
  
  暂无本作者相关信息
  张春霞
  ，
- 中山大学学报(自然科学版)(中英文) 2024年63卷第1期页码：154-165
- 作者机构：
  
  重庆师范大学数学科学学院，重庆 401331
- 作者简介：
  
  余君丽（1998年生），女；研究方向：同调代数理论；E-mail：979598210@qq.com
  张春霞（1979年生），女；研究方向：同调代数理论；E-mail：cxzhang@cqnu.edu.cn
- 基金信息：
  
  国家自然科学基金(11871125);重庆市自然科学基金(cstc2021jcyj-msxmX0048)
- DOI：10.13471/j.cnki.acta.snus.2022A030
  中图分类号： O153.3
- 纸质出版日期：2024-01-25，
  
  网络出版日期：2023-11-16，
  
  收稿日期：2022-03-18，
  
  录用日期：2022-12-16
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余君丽,张春霞.n,d-（Ext）-phantom 态射与 n,d-环[J].中山大学学报(自然科学版)(中英文),2024,63(01):154-165.

YU Junli,ZHANG Chunxia.On n,d-（Ext）-phantom morphisms and n,d-rings[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni,2024,63(01):154-165.
余君丽,张春霞.n,d-（Ext）-phantom 态射与 n,d-环[J].中山大学学报(自然科学版)(中英文),2024,63(01):154-165. DOI： 10.13471/j.cnki.acta.snus.2022A030.

YU Junli,ZHANG Chunxia.On n,d-（Ext）-phantom morphisms and n,d-rings[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni,2024,63(01):154-165. DOI： 10.13471/j.cnki.acta.snus.2022A030.

(n, d)

-（

E x t

）-phantom 态射与

(n, d)

-环

余君丽 ; 张春霞 ;

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摘要

引入了 $(n, d)$ -phantom 态射与 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射的概念. 利用它们，给出了 $(n, d)$ -环、 $n$ -遗传环以及 $n$ -正则环的一系列新刻画.

Abstract

The concepts of $(n, d)$ -phantom and $(n, d)$ - $E x t$ -phantom morphisms are introduced， and are used to characterize $(n, d)$ -rings， $n$ -hereditary rings and $n$ -regular rings in various ways.

关键词

$(n, d)$ -phantom态射; $(n, d)$ - $E x t$ -phantom态射; $n$ -凝聚环; $(n, d)$ -环; $n$ -遗传环

译

Keywords

$(n, d)$ -phantom morphism; $(n, d)$ - $E x t$ -phantom morphism; $n$ -coherent ring; $(n, d)$ -ring; $n$ -hereditary ring

译

贯穿全文， $R$ 是含单位元的结合环，模均指酉模. 我们用 $R$ - $M o d$ 与 $M o d$ - $R$ 分别表示左，右 $R$ -模范畴. $H o m (M, N)$ 与 $M \otimes N$ 分别指 $H o m_{R} (M, N)$ 与 $M \otimes_{R} N$ ，类似的解释对导出函子 $E x t^{i} (M, N)$ 与 $T o r_{i} (M, N)$ 亦适用. 记模 $M$ 的示性模 $H o m_{Z} (M, Q / Z)$ 为 $M^{+}$ . $i d M$ 、 $p d M$ 与 $f d M$ 分别表示 $M$ 的内射、投射与平坦维数. $w D (R)$ 表示环 $R$ 的弱整体维数.

设 $n$ ， $d$ 是非负整数. 称右 $R$ -模 $F$ 是有限 $n$ -表示的（

Costa，1994），如果存在右

R

-模的正合序列

P_{n} \to P_{n - 1} \to \dots \to P_{1} \to P_{0} \to F \to 0,

使得每个 $P_{i}$ 是有限生成自由模或有限生成投射模（ $i = 0,1, \dots, n$ ）. 显然，当 $n' > n$ 时，任意有限 $n'$ -表示 $R$ -模是有限 $n$ -表示的. 称 $R$ 是右 $n$ -凝聚环，如果每个有限 $n$ -表示右 $R$ -模是有限 $(n + 1)$ -表示的. 特别地，1-凝聚环即凝聚环， $0$ -凝聚环为诺特环.称右 $R$ -模 $M$ 为 $(n, d)$ -内射模，如果对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $F$ ，有 $E x t^{d + 1} (F, M) = 0$ （

Zhou，2004）. 显然

(0,0)

-内射，

(1,0)

-内射，

(n, 0)

-内射，

(0, d)

-内射模分别是大家熟知的内射，

F P

-内射（Stenstr

\ddot{o}

m，1970），

F P_{n}

-内射（Bravo et al.，2017），内射维数不大于

d

的模. 称左

R

-模

N

是

(n, d)

-平坦的，如果对任意有限

n

-表示右

R

-模

F

，有

T o r_{d + 1} (F, N) = 0

（Zhou，2004）.

众所周知， $R$ 是右诺特环当且仅当任意右 $R$ -模存在内射（预）覆盖（

Enochs et al.，2000，定理 5.4.1）. Pinzon（2008）证明了在右凝聚环上，任意右

R

-模存在

(1,0)

-内射（预）覆盖. 近来，Li et al.（2014）证明了在右

n

-凝聚环上，任意右

R

-模存在

(n, d)

-内射（预）覆盖. 另一方面，Mao et al.（2006）证明了在任意环上，

(n, d)

-内射模类是（预）包络类.

理想逼近理论是近年来由

Fu et al.（2013）创建起来的理论. 称双函子

H o m_{R} (\cdot

，

\cdot)

: R

M o d^{o p} \times R

M o d \to A b

的加法子双函子为

R

M o d

的一个理想（ideal）

ℐ

. 理想逼近理论是对经典逼近理论（覆盖与包络理论）的推广. 作为理想的一个重要例子即所谓的 phantom 态射理想，它是平坦模的态射版本. 任意结合环

R

上的 phantom 态射是由 Herzog（2007）引入的. 称

R

M o d

中的态射

f : M \to N

是 phantom 态射，如果对每个（有限表示）右

R

-模

A

，诱导态射

T o r_{1} (A, f) : T o r_{1} (A, M) \to T o r_{1} (A, N)

是

0

. 类似地，称

M o d

R

中的态射

g : M \to N

为

E x t

-phantom 态射（Herzog，2008），如果对每个有限表示右

R

-模

B

，诱导态射

E x t^{1} (B, g) : E x t^{1} (B, M) \to E x t^{1} (B, N)

是

0

. Herzog（2007）与 Mao （2013）分别证明了任意模存在 phantom 覆盖与

E x t

-phantom 预包络. Mao（2016）证明了在凝聚环上，任意模存在 phantom 预包络与

E x t

-phantom 覆盖.

受以上思想启发，本文第一部分引入 $(n, d)$ -phantom 与 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射的概念，它们分别是 $(n, d)$ -平坦模与 $(n, d)$ -内射模的态射版本. 自然要问： $(n, d)$ -phantom 与 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射在什么条件下是（预）覆盖类与（预）包络类？为此我们得到以下结论：（i） $R$ - $M o d$ 中任意模存在 $(n, d)$ -phantom 覆盖；（ii）当 $d + 1 \geq n$ 且 $R$ 是右 $n$ -凝聚环，或者当 $d + 1 < n$ 时， $R$ - $M o d$ 中任意模存在 $(n, d)$ -phantom（预）包络；（iii）当 $d + 1 \geq n$ 且 $R$ 是右 $n$ -凝聚环，或者当 $d + 1 < n$ 时， $M o d$ - $R$ 中任意模存在 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 覆盖与 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 预包络.

作为应用，本文第二部分利用 $(n, d)$ -phantom 与 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射给出了右 $(n, d)$ -环，右 $n$ -遗传环与右 $n$ -正则环的一系列新刻画，这些刻画推广了已有文献中的相关结论.

1 $(n, d)$ -phantom 覆盖（包络）与 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 包络（覆盖）

对非负整数 $n$ ，

Costa（1994）在任意环上引入了以下概念.

定义 1 称右 $R$ -模 $F$ 是有限 $n$ -表示的，若存在 $M o d$ - $R$ 中的正合序列

P_{n} \to P_{n - 1} \to \dots \to P_{1} \to P_{0} \to F \to 0,

使得每个 $P_{i}$ 是有限生成投射模（ $i = 0,1, \dots, n$ ）.

用 $ℱ 𝒫_{n}$ 表示有限 $n$ -表示右 $R$ -模类. 则 $ℱ 𝒫_{0}$ 为有限生成右 $R$ -模类， $ℱ 𝒫_{1}$ 为有限表示右 $R$ -模类. 并且由定义可得以下模类之间的包含降链

ℱ 𝒫_{0} \supseteq ℱ 𝒫_{1} \supseteq \dots \supseteq ℱ 𝒫_{n} \supseteq ℱ 𝒫_{n + 1} \supseteq \dots \supseteq ℱ 𝒫_{\infty} .

众所周知， $R$ 是右诺特环当且仅当任意有限生成右 $R$ -模是有限表示的，即 $ℱ 𝒫_{0} \subseteq ℱ 𝒫_{1}$ . 对凝聚环也有类似刻画： $R$ 是右凝聚环当且仅当 $ℱ 𝒫_{1} \subseteq ℱ 𝒫_{2}$ （

Bravo et al.， 2017，命题 2.1）. 自然地就有以下

n

-凝聚环的概念.

定义 2 称环 $R$ 是右 $n$ -凝聚环，如果 $ℱ 𝒫_{n} \subseteq ℱ 𝒫_{n + 1}$ .

由此看出右 $0$ -凝聚环即右诺特环，右 $1$ -凝聚环即右凝聚环.

Bravo et al.（2019）的注 3.10指出，若

R

是右

n

-凝聚环，则对任意

k \geq n

，它也是右

k

-凝聚环. 如果用

n

C o h

表示所有右

n

-凝聚环的类，则可得以下升链：

0- $C o h \subset 1$ - $C o h \subset 2$ - $C o h \subset \dots \subset n$ - $C o h \subset \dots \subset \infty$ - $C o h .$

以下结论引用自

Bravo et al.（2017）的定理 3.4与Zhou（2004）的命题 3.1，并将在文中频繁用到.

译

引理 1 $(i)$ 设 $M$ 是右 $R$ -模， $N$ 是 $(R, R)$ -双模. 若 $I$ 是内射右 $R$ -模，则对所有 $i \geq 0$ ，存在同构

H o m (T o r_{i} (M, N), I) ≅ E x t^{i} (M, H o m (N, I)) .

特别地，有

译

T o r_{i} {(M, N)}^{+} ≅ E x t^{i} (M, N^{+}) .

$(i i)$ 设右 $R$ -模 $F \in ℱ 𝒫_{n}$ ， $N$ 是 $(R, R)$ -双模. 若 $I$ 是内射左 $R$ -模，则对所有 $i \geq 1$ ，同构式

T o r_{i} (F, H o m (N, I)) ≅ H o m (E x t^{i} (F, N), I)

在以下条件之一时成立.

译

$a)$ 当 $i \geq n$ 时， $R$ 是右 $n$ -凝聚环.

$b)$ 当 $i < n$ 时， $R$ 是任意环.

注意到如果 $F$ 是有限 $n$ -表示模，那么引理 1（ii）中的同构式对 $1 \leq i \leq n - 1$ 在任意环上都成立. 由此提供了在任意环上只需考虑有限 $n$ -表示模（ $n > 1$ ）的依据.

定义 3 设 $n, d$ 是非负整数且 $n \geq 1$ .

$(i)$ 称 $R$ - $M o d$ 中的态射 $f : M \to N$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射，如果对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $F$ ，其诱导的 Abel 群的态射 $T o r_{d + 1} (F, f) : T o r_{d + 1} (F, M) \to T o r_{d + 1} (F, N)$ 是 $0$ .

（ii）称 $M o d$ - $R$ 中的态射 $g : M \to N$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射，如果对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $F$ ，其诱导的 Abel 群的态射 $E x t^{d + 1} (F, g) : E x t^{d + 1} (F, M) \to E x t^{d + 1} (F, N)$ 是 $0$ .

以下均假设 $n, d$ 是非负整数且 $n \geq 1$ .

注 1 $(i)$ 显然， $(1,0)$ -phantom 态射即

Herzog（2007）定义的 phantom 态射；

(1,0)

E x t

-phantom 态射即 Herzog（2008）定义的

E x t

-phantom 态射.

$(i i)$ 若 $d + 1 = n$ ，则 $(1, d)$ -phantom 态射与 $(1, d)$ - $E x t$ -phantom 态射分别为 $n$ -phantom 态射与 $n$ - $E x t$ -phantom 态射，参见文献（

Mao，2018，2019；Lan et al.，2021）.

$(i i i)$ 易证 $(n, d)$ -phantom 与 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射分别是 $R$ - $M o d$ 与 $M o d$ - $R$ 的理想.

命题 1 设 $R$ 是右 $n$ -凝聚环.

$(i)$ 若 $R$ - $M o d$ 中的态射 $f : M \to N$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射，则对任意 $d' > d$ ， $f$ 也是 $(n, d')$ -phantom 态射.

$(i i)$ 若 $M o d$ - $R$ 中的态射 $g : M \to N$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射，则对任意 $d' > d$ ， $g$ 也是 $(n, d')$ - $E x t$ -phantom 态射.

证明对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $F$ ，由于 $R$ 是右 $n$ -凝聚环，由

Zhu（2011）的定理 2.1，存在正合序列

0 \to K \to P \to F \to 0,

（1）

使得 $P$ 是有限生成投射模且 $K$ 是有限 $n$ -表示的. 则

（i）由正合序列（1）诱导出行正合的交换图

译

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

由此可得 $T o r_{d + 2} (F, f) = 0$ . 由归纳法可知对任意 $d' > d$ ， $f$ 是 $(n, d')$ -phantom 态射.

（ii）由正合序列（1）诱导出行正合的交换图

译

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

由此可得 $E x t^{d + 2} (F, g) = 0$ . 由归纳法可知对任意 $d' > d$ ， $g$ 是 $(n, d')$ - $E x t$ -phantom 态射.

以下结论揭示了 $(n, d)$ -phantom 态射与 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射之间的关系.

命题 2 $(i)$ $R$ - $M o d$ 中的态射 $f : M \to N$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射当且仅当 $f^{+} : N^{+} \to M^{+}$ 是 $M o d$ - $R$ 中的 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射.

$(i i)$ $M o d$ - $R$ 中的态射 $g : M \to N$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射当且仅当在以下条件之一下， $g^{+} : N^{+} \to M^{+}$ 是 $R$ - $M o d$ 中的 $(n, d)$ -phantom 态射：

$a)$ 当 $d + 1 \geq n$ 时， $R$ 是右 $n$ -凝聚环.

$b)$ 当 $d + 1 < n$ 时， $R$ 是任意环.

证明（i）对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $A$ ，考虑以下交换图

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

由引理1（i）知上图中的 $α$ 与 $β$ 均为同构. 于是 $T o r_{d + 1} (A, f) = 0$ 当且仅当 $T o r_{d + 1} {(A, f)}^{+} = 0$ 当且仅当 $E x t^{d + 1} (A, f^{+}) = 0$ . 所以 $f$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射当且仅当 $f^{+}$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射.

（ii）对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $B$ ，考虑以下交换图

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

由引理1（ii）知上图中的 $φ$ 与 $ψ$ 在以上两条件之一下均为同构. 则 $E x t^{d + 1} (B, g) = 0$ 当且仅当 $E x t^{d + 1} {(B, g)}^{+} = 0$ 当且仅当 $T o r_{d + 1} (B, g^{+}) = 0$ . 所以 $g$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射当且仅当 $g^{+}$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射.

令 $R$ - $M o r$ 是左 $R$ -模态射范畴：此范畴中的对象是左 $R$ -模态射，此范畴中的态射是从左 $R$ -模态射 $M_{1} \overset{f}{\to} M_{2}$ 到左 $R$ -模态射 $N_{1} \overset{g}{\to} N_{2}$ 的左 $R$ -模态射对子 $(M_{1} \overset{s}{\to} N_{1}, M_{2} \overset{t}{\to} N_{2})$ 且使得 $t f = g s$ . 设 $C$ 是一个有直积的局部有限表示加法范畴. 若它的一个全子范畴 $D$ 关于直积，正向极限，纯子对象封闭，则称 $D$ 为可定义子范畴（Crawley-Boevey， 1994；

Crivei et al.， 2010）. 众所周知左

R

-模态射范畴

R

M o r

是局部有限表示 Grothendieck 范畴. 以下我们讨论在什么条件下全子范畴

(n, d)

-phantom 态射与

(n, d)

E x t

-phantom 态射是可定义子范畴. 为此，先给出

(n, d)

-phantom 态射与

(n, d)

E x t

-phantom 态射的一些封闭性性质.

引理 2 考虑以下纯正合行的交换图

译

$\text{[math]}$

（2）

$(i)$ 若 $φ$ 是 $R$ - $M o d$ 中的 $(n, d)$ -phantom 态射，则 $ψ$ 与 $γ$ 亦是.

$(i i)$ 若 $φ$ 是 $M o d$ - $R$ 中的 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射，则在以下条件之一下 $ψ$ 与 $γ$ 亦是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射.

$a)$ 当 $d + 1 \geq n$ 时， $R$ 是右 $n$ -凝聚环.

$b)$ 当 $d + 1 < n$ 时， $R$ 是任意环.

证明由交换图（2）可诱导出如下行可裂正合的交换图

译

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

（i）首先由命题2（i）知 $φ^{+}$ 是 $M o d$ - $R$ 中的 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射. 所以对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $A$ ，有

E x t^{d + 1} (A, ψ^{+}) E x t^{d + 1} (A, α_{2}^{+}) = E x t^{d + 1} (A, α_{1}^{+}) E x t^{d + 1} (A, φ^{+}) = 0 .

由于 $E x t^{d + 1} (A, α_{2}^{+})$ 是满态射，所以 $E x t^{d + 1} (A, ψ^{+}) = 0$ . 因此 $ψ^{+}$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射，再次由命题2（i）知 $ψ$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射.

另一方面，由以上交换图还可得

译

E x t^{d + 1} (A, β_{1}^{+}) E x t^{d + 1} (A, γ^{+}) = E x t^{d + 1} (A, φ^{+}) E x t^{d + 1} (A, β_{2}^{+}) = 0 .

而 $E x t^{d + 1} (A, β_{1}^{+})$ 是单态射，所以 $E x t^{d + 1} (A, γ^{+}) = 0$ . 因此 $γ^{+}$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射，则由命题2（i）知 $γ$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射.

（ii）由命题2（ii）知 $φ^{+}$ 是 $R$ - $M o d$ 中的 $(n, d)$ -phantom 态射. 所以对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $B$ ，有

T o r_{d + 1} (B, ψ^{+}) T o r_{d + 1} (B, α_{2}^{+}) = T o r_{d + 1} (B, α_{1}^{+}) T o r_{d + 1} (B, φ^{+}) = 0 .

由于 $T o r_{d + 1} (B, α_{2}^{+})$ 是满态射，所以 $T o r_{d + 1} (B, ψ^{+}) = 0$ . 因此 $ψ^{+}$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射，再次由命题 2（ii）知 $ψ$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射.

另外，还可得到

译

T o r_{d + 1} (B, β_{1}^{+}) T o r_{d + 1} (B, γ^{+}) = T o r_{d + 1} (B, φ^{+}) T o r_{d + 1} (B, β_{2}^{+}) = 0 .

又 $T o r_{d + 1} (B, β_{1}^{+})$ 是单态射，所以 $T o r_{d + 1} (B, γ^{+}) = 0$ . 于是 $γ^{+}$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射，由命题2（ii）知 $γ$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射.

引理 3 $(i)$ $R$ - $M o r$ 中 $(n, d)$ -phantom 态射类关于正向极限封闭； $M o r$ - $R$ 中 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射类关于直积封闭.

$(i i)$ 当 $d + 1 \geq n$ 且 $R$ 是右 $n$ -凝聚环，或当 $d + 1 < n$ 时， $R$ - $M o r$ 中 $(n, d)$ -phantom 态射类关于直积封闭且 $M o r$ - $R$ 中 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射类关于正向极限封闭.

证明（i）设 ${f_{i j} : M_{i} \to M_{j}}_{i \leq j \in I}$ 与 ${g_{i j} : N_{i} \to N_{j}}_{i \leq j \in I}$ 是 $R$ - $M o d$ 中的两族正向系， ${(τ_{i} : M_{i} \to N_{i})}_{i \in I}$ 是它们之间的态射，且每个 $τ_{i} : M_{i} \to N_{i}$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射. 令 $\underset{\to}{l i m} τ_{i} : \underset{\to}{l i m} M_{i} \to \underset{\to}{l i m} N_{i}$ 是其诱导的态射. 则对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $A$ ，有如下交换图

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由于 $\underset{\to}{l i m} T o r_{d + 1} (A, τ_{i}) = 0$ ，所以 $T o r_{d + 1} (A, \underset{\to}{l i m} τ_{i}) = 0$ . 故 $\underset{\to}{l i m} τ_{i} : \underset{\to}{l i m} M_{i} \to \underset{\to}{l i m} N_{i}$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射.

再设 ${(f_{i} : M_{i} \to N_{i})}_{i \in I}$ 是 $M o r$ - $R$ 中的一族 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射， $Π_{i \in I} f_{i} : Π_{i \in I} M_{i} \to Π_{i \in I} N_{i}$ 是其诱导的态射. 则对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $B$ ，可得如下交换图

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由于 $Π_{i \in I} E x t^{d + 1} (B, f_{i}) = 0$ ，所以 $E x t^{d + 1} (B, Π_{i \in I} f_{i}) = 0$ . 因此 $Π_{i \in I} f_{i} : Π_{i \in I} M_{i} \to Π_{i \in I} N_{i}$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射.

（ii）设 ${(f_{i} : M_{i} \to N_{i})}_{i \in I}$ 是 $R$ - $M o r$ 中的一族 $(n, d)$ -phantom 态射， $Π_{i \in I} f_{i} : Π_{i \in I} M_{i} \to Π_{i \in I} N_{i}$ 是其诱导的态射. 则对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $A$ ，根据

Zhou（2004）的命题 3.1，可得以下交换图

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由于 $Π_{i \in I} T o r_{d + 1} (A, f_{i}) = 0$ ，所以 $T o r_{d + 1} (A, Π_{i \in I} f_{i}) = 0$ . 因此 $Π_{i \in I} f_{i} : Π_{i \in I} M_{i} \to Π_{i \in I} N_{i}$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射.

最后设 ${f_{i j} : M_{i} \to M_{j}}_{i \leq j \in I}$ 与 ${g_{i j} : N_{i} \to N_{j}}_{i \leq j \in I}$ 是 $M o d$ - $R$ 中的两族正向系， ${(τ_{i} : M_{i} \to N_{i})}_{i \in I}$ 是它们之间的态射，且每个 $τ_{i} : M_{i} \to N_{i}$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射. 令 $\underset{\to}{l i m} τ_{i} : \underset{\to}{l i m} M_{i} \to \underset{\to}{l i m} N_{i}$ 是其诱导的态射. 则对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $B$ ，根据

Zhou（2004）的命题 3.1，可得以下交换图

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由于 $\underset{\to}{l i m} E x t^{d + 1} (B, τ_{i}) = 0$ ，所以 $E x t^{d + 1} (B, \underset{\to}{l i m} τ_{i}) = 0$ . 因此 $\underset{\to}{l i m} τ_{i} : \underset{\to}{l i m} M_{i} \to \underset{\to}{l i m} N_{i}$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射.

结合引理2~3与

Mao（2016）的注 2.3，可得以下结论.

译

命题3 当 $d + 1 \geq n$ 且 $R$ 是右 $n$ -凝聚环，或当 $d + 1 < n$ 时， $R$ - $M o r$ 的全子范畴 $(n, d)$ -phantom 态射与 $M o r$ - $R$ 的全子范畴 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射均为可定义子范畴.

以下结论揭示了态射的 $(n, d)$ -phantom 与 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射的预覆盖与预包络的存在性.

定理 1 $(i)$ $R$ - $M o r$ 中任意左 $R$ -模态射存在 $(n, d)$ -phantom 覆盖.

$(i i)$ 当 $d + 1 \geq n$ 且 $R$ 是右 $n$ -凝聚环，或当 $d + 1 < n$ 时， $R$ - $M o r$ 中任意左 $R$ -模态射存在 $(n, d)$ -phantom 预包络.

$(i i i)$ 当 $d + 1 \geq n$ 且 $R$ 是右 $n$ -凝聚环，或当 $d + 1 < n$ 时， $M o r$ - $R$ 中任意右 $R$ -模态射存在 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 覆盖与 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 预包络.

证明（i）一方面由引理3（i）知 $R$ - $M o r$ 中 $(n, d)$ -phantom 态射类关于正向极限封闭，另一方面由引理 2（i）与

Mao（2016）的注 2.3知

(n, d)

-phantom 态射类关于纯的满同态像封闭. 所以由 Crivei et al.（2010）的定理 2.6知

R

M o r

中每个左

R

-模态射存在

(n, d)

-phantom 覆盖.

（ii）由引理3（ii）知 $R$ - $M o r$ 中 $(n, d)$ -phantom 态射类关于直积封闭，且由引理2（i）与

Mao（2016）的注 2.3知

(n, d)

-phantom 态射类关于纯子对象封闭，所以由 Crivei et al.（2010）的定理 4.1，

R

M o r

中每个左

R

-模态射存在

(n, d)

-phantom 预包络.

（iii）的证明类似于（i）与（ii）.

译

在理想逼近理论中，

Fu et al.（2013）给出了模的相对于理想的覆盖与包络的概念. 设

ℐ

是

R

-Mod 的一个理想. 称

ℐ

中的态射

ϕ : M \to N

是

N

的

ℐ

-预覆盖，如果对

ℐ

中任意态射

ψ : C \to N

，存在态射

θ : C \to M

使得

ϕ θ = ψ

. 一个

ℐ

-预覆盖

ϕ : M \to N

称为

ℐ

-覆盖，如果使得

ϕ h = ϕ

的

M

的自态射

h

是同构. 对偶地，可定义

ℐ

-预包络与

ℐ

-包络的概念. 如果在定理 1 中令

ℐ

分别为

(n, d)

-phantom 与

(n, d)

E x t

-phantom 态射类，则可得以下结论.

推论1 $(i)$ $R$ - $M o d$ 中任意左 $R$ -模存在 $(n, d)$ -phantom 覆盖.

$(i i)$ 当 $d + 1 \geq n$ 且 $R$ 是右 $n$ -凝聚环，或当 $d + 1 < n$ 时， $R$ - $M o d$ 中任意左 $R$ -模存在 $(n, d)$ -phantom 预包络.

$(i i i)$ 当 $d + 1 \geq n$ 且 $R$ 是右 $n$ -凝聚环，或当 $d + 1 < n$ 时， $M o d$ - $R$ 中任意右 $R$ -模存在 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 覆盖与 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 预包络.

2 $(n, d)$ -phantom与 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射的应用

称右 $R$ -模 $M$ 是 $(n, d)$ -内射模，如果对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $F$ ，有 $E x t^{d + 1} (F, M) = 0$ . 称左 $R$ -模 $N$ 是 $(n, d)$ -平坦模，如果对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $F$ ，有 $T o r_{d + 1} (F, N) = 0$ （

Zhou，2004）. 显然，

M

是

(0,0)

-内射模（

(1,0)

-内射模，

(1,0)

-平坦模）当且仅当

M

是内射模（FP-内射模，平坦模）；

M

是

(n, 0)

-内射模（

(n, 0)

-平坦模）当且仅当

M

是

F P_{n}

-内射模（

F P_{n}

-平坦模）（Bravo， 2017）；

M

是

(0, d)

-内射模（

(1, d)

-平坦模）当且仅当

i d M \leq d

（

f d M \leq d

）. 对给定的非负整数

d

及所有

n' \geq n

，有

(n, d)

-内射模（

(n, d)

-平坦模）是

(n', d)

-内射模（

(n', d)

-平坦模）.

根据

Zhu（2011；2018），

R

-模

M

的

(n, 0)

-内射维数与

(n, 0)

-平坦维数分别定义为

$(n, 0)$ - $i d (M_{R}) = i n f {d |E x t^{d + 1} (F, M) = 0, \forall F \in ℱ 𝒫_{n}},$

$(n, 0)$ - $f d (_{R} M) = i n f {d |T o r_{d + 1} (F, M) = 0, \forall F \in ℱ 𝒫_{n}} .$

环 $R$ 的右 $(n, 0)$ -内射整体维数与左 $(n, 0)$ -弱维数分别定义为

$r . (n, 0)$ - $I D (R) = s u p \{(n, 0)$ - $i d (M)| M \in M o d$ - $R\},$

$l . (n, 0)$ - $w D (R) = s u p \{(n, 0)$ - $f d (M)| M \in R$ - $M o d\}$ .

首先由引理1 可得如下结论.

译

引理 4 当 $d + 1 \geq n$ 且 $R$ 是右 $n$ -凝聚环，或当 $d + 1 < n$ 时，以下整数相等：

(i)

l . (n, 0) - w D (R)

(i i)

r . (n, 0) - I D (R)

(i i i)

s u p {p d (F_{R}) |F_{R} \in ℱ 𝒫_{n}}

称环 $R$ 是右 $(n, d)$ -环，如果任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模的投射维数不超过 $d$ ；称环 $R$ 是右弱 $(n, d)$ -环，如果任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模的平坦维数不超过 $d$ （

Zhou，2004）. 易证若

n \leq n'

以及

d \leq d'

，则任意右（弱）

(n, d)

-环是右（弱）

(n', d')

-环.

由

Zhou（2004）的命题 2.6知，（i）

R

是右

(n, d)

-环当且仅当所有右

R

-模是

(n, d)

-内射模；（ii）

R

是右弱

(n, d)

-环当且仅当所有左

R

-模是

(n, d)

-平坦模；（iii）若

R

是右

(n, d)

-环，则

R

是右弱

(n, d)

- 环. 并且当

d + 1 \leq n

时，反之亦成立. 特别地，若

R

是右

n

-凝聚环，则

R

是右

(n, d)

-环当且仅当

R

是右弱

(n, d)

-环. 以下结论推广了Mao（2018）的命题 2.7.

定理2 设 $R$ 是环. 则

$(i)$ $R$ 是右 $(n, d)$ -环当且仅当 $M o d$ - $R$ 中的任意态射是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射.

$(i i)$ $R$ 是右弱 $(n, d)$ -环当且仅当 $R$ - $M o d$ 中的任意态射是 $(n, d)$ -phantom 态射.

从而，当 $d + 1 \leq n$ 或 $R$ 是右 $n$ -凝聚环时，以上条件等价.

证明（i） $“ \Rightarrow "$ . 设 $f : M \to N$ 是 $M o d$ - $R$ 中的任意态射. 由于对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $A$ ，有 $E x t^{d + 1} (A, M) = E x t^{d + 1} (A, N) = 0$ . 所以 $f$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射.

$“ \Leftarrow "$ . 设 $A$ 是任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模. 对任意右 $R$ -模 $M$ ，由于恒等态射 $M \to M$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射，从而其诱导的恒等态射 $E x t^{d + 1} (A, M) \to E x t^{d + 1} (A, M)$ 是 $0$ ，于是 $E x t^{d + 1} (A, M) = 0$ ，即 $p d A \leq d$ . 因此 $R$ 是右 $(n, d)$ -环.

（ii） $“ \Rightarrow "$ . 设 $g : M \to N$ 是 $R$ - $M o d$ 中的任意态射. 由于对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $B$ ，有 $T o r_{d + 1} (B, M) = T o r_{d + 1} (B, N) = 0$ . 所以 $g$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射.

$“ \Leftarrow "$ . 设 $B$ 是任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模. 对任意左 $R$ -模 $M$ ，由于恒等态射 $T o r_{d + 1} (B, M) \to T o r_{d + 1} (B, M)$ 是 $0$ ，于是 $T o r_{d + 1} (B, M) = 0$ ，即 $f d B \leq d$ . 因此 $R$ 是右弱 $(n, d)$ -环.

最后的结论由（i），（ii）与

Zhou（2004）的命题 2.6得到.

译

众所周知，左 $R$ -模态射范畴 $R$ - $M o r$ 是局部有限表示 Grothendieck 范畴. $R$ - $M o r$ 中的态射 $f : E^{1} \to E^{2}$ 是内射的当且仅当 $E^{1}$ 与 $E^{2}$ 是内射左 $R$ -模且 $f$ 是可裂满同态. $R$ - $M o r$ 中的态射 $g : P_{1} \to P_{2}$ 是投射的当且仅当 $P_{1}$ 与 $P_{2}$ 是投射左 $R$ -模且 $g$ 是可裂单同态. $R$ - $M o r$ 中的态射 $h : F_{1} \to F_{2}$ 是平坦的当且仅当它是投射态射的正向极限，等价于 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 是平坦左 $R$ -模且 $h$ 是纯的单同态（

Enochs et al.， 2002）.

命题4 设 $R$ 是环且 $d > 0$ . 对 $R$ - $M o d$ 中的态射 $f : M \to N$ ，以下条件等价：

$(i)$ $f$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射.

$(i i)$ 在 $R$ - $M o r$ 中的任意正合序列 $0 \to k_{d} \to f_{d - 1} \to \dots \to f_{1} \to f_{0} \to f \to 0$ 中，每个 $f_{i}$ 是平坦的且 $k_{d}$ 是 $(n, 0)$ -phantom 态射.

$(i i i)$ 在 $R$ - $M o r$ 中的任意正合序列 $0 \to k_{d} \to p_{d - 1} \to \dots \to p_{1} \to p_{0} \to f \to 0$ 中，每个 $p_{i}$ 是投射的且 $k_{d}$ 是 $(n, 0)$ -phantom 态射.

$(i v)$ 存在 $R$ - $M o r$ 中的正合序列 $0 \to k_{d} \to p_{d - 1} \to \dots \to p_{1} \to p_{0} \to f \to 0$ ，使得每个 $p_{i}$ 是投射的且 $k_{d}$ 是 $(n, 0)$ -phantom 态射.

$(v)$ 存在 $R$ - $M o r$ 中的正合序列 $0 \to k_{d} \to f_{d - 1} \to \dots \to f_{1} \to f_{0} \to f \to 0$ ，使得每个 $f_{i}$ 是平坦的且 $k_{d}$ 是 $(n, 0)$ -phantom 态射.

证明 $(i) \Rightarrow (i i)$ . 考虑 $R$ - $M o r$ 中任意正合序列

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其中每个 $f_{i} : F_{i} \to F'_{i}$ 是平坦态射（ $i = 0,1, \dots, d - 1$ ），即每个 $f_{i}$ 是纯的单同态且 $F_{i}, F'_{i}$ 是平坦左 $R$ -模. 对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $A$ ，由（i）知 $T o r_{d + 1} (A, f) = 0$ . 令 $k_{i} : K_{i} \to K'_{i}$ 是 $f_{i - 1} \to f_{i - 2}$ 的核，其中 $i = 1,2, \dots, d - 1$ ，且 $f_{- 1} = f$ . 则有如下行正合的交换图：

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由此得 $T o r_{d} (A, k_{1}) = 0$ . 继续此过程可得 $k_{d}$ 是 $(n, 0)$ -phantom 态射.

(i i) \Rightarrow (i i i) \Rightarrow (i v) \Rightarrow (v)

显然.

$(v) \Rightarrow (i)$ . 由（v），存在 $R$ - $M o r$ 中的正合序列

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其中每个 $q_{i} : Q_{i} \to Q'_{i}$ 是平坦态射（ $i = 0,1, \dots, d - 1$ ），且 $k_{d} : K_{d} \to K'_{d}$ 是 $(n, 0)$ -phantom 态射. 所以对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $A$ ，有 $T o r_{1} (A, k_{d}) = 0$ .

令 $k_{i} : K_{i} \to K'_{i}$ 是 $q_{i - 1} \to q_{i - 2}$ 的核，其中 $i = 1,2, \dots, d - 1$ ，且 $q_{- 1} = f$ . 考虑如下行正合的交换图

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则 $T o r_{2} (A, k_{d - 1}) = 0$ . 继续此过程可得 $T o r_{d + 1} (A, f) = 0$ ，故 $f$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射.

命题5 设 $R$ 是环且 $d > 0$ . 对 $M o d$ - $R$ 中的态射 $g : M \to N$ ，以下条件等价：

$(i)$ $g$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射.

$(i i)$ 在 $M o r$ - $R$ 中的任意正合序列 $0 \to g \to e^{0} \to e^{1} \to \dots \to e^{d - 1} \to l^{d} \to 0$ 中，每个 $e^{i}$ 是内射的且 $l^{d}$ 是 $(n, 0)$ - $E x t$ -phantom 态射.

$(i i i)$ 存在 $M o r$ - $R$ 中的正合序列 $0 \to g \to e^{0} \to e^{1} \to \dots \to e^{d - 1} \to l^{d} \to 0$ ，使得每个 $e^{i}$ 是内射的且 $l^{d}$ 是 $(n, 0)$ - $E x t$ -phantom 态射.

证明 $(i) \Rightarrow (i i)$ . 考虑 $M o r$ - $R$ 中任意正合序列

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其中每个 $e^{i} : E^{i} \to {\tilde{E}}^{i}$ 是内射态射（ $i = 0,1, \dots, d - 1$ ）. 对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $B$ ，由（i）知 $E x t^{d + 1} (B, g) = 0$ . 令 $l^{i} : L^{i} \to {\tilde{L}}^{i}$ 是 $e^{i - 2} \to e^{i - 1}$ 的余核，其中 $i = 1,2, \dots, d - 1$ ， $e^{- 1} = g$ . 则有如下行正合的交换图

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由此得 $E x t^{d} (B, l^{1}) = 0$ . 继续此过程可得 $l^{d}$ 是 $(n, 0)$ - $E x t$ -phantom 态射.

(i i) \Rightarrow (i i i)

显然.

$(i i i) \Rightarrow (i)$ . 由（iii）知，存在 $M o r$ - $R$ 中的正合序列

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其中每个 $ω^{i}$ 是内射态射且 $t^{d}$ 是 $(n, 0)$ - $E x t$ -phantom 态射. 所以对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $B$ ，有 $E x t^{1} (B, t^{d}) = 0$ .

令 $t^{i} : T^{i} \to {\tilde{T}}^{i}$ 是 $ω^{i - 2} \to ω^{i - 1}$ 的余核，其中 $i = 1,2, \dots, d - 1$ ， $ω^{- 1} = g$ . 考虑如下行正合的交换图

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则 $E x t^{2} (B, t^{d - 1}) = 0$ .继续此过程可得 $E x t^{d + 1} (B, g) = 0$ ，故 $g$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom态射.

由

Li et al.（2014）的定理 4.1知，

R

是右

(n, d)

-环当且仅当

R

是右

n

-凝聚环，

R_{R}

是

(n, d)

-内射模，且右

(n, d)

-内射

R

-模的商模是

(n, d)

-内射的.这里我们有如下结论

定理3 设 $R$ 是环.

$(i)$ $R$ 是右 $(n, d + 1)$ -环当且仅当 $M o r$ - $R$ 中 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom态射的商态射是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom态射.

$(i i)$ $R$ 是右弱 $(n, d + 1)$ -环当且仅当 $R$ - $M o r$ 中 $(n, d)$ -phantom态射的子态射是 $(n, d)$ -phantom态射.

证明（i） $“ \Rightarrow " .$ 设 $f$ 是 $M o r$ - $R$ 中 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom态射 $e$ 的商.则存在 $M o r$ - $R$ 中的正合序列 $0 \to h \to e \to f \to 0$ . 由于 $R$ 是右 $(n, d + 1)$ -环，由定理2知 $h$ 是 $(n, d + 1)$ - $E x t$ -phantom 态射. 所以对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $A$ ，由长正合序列可得 $E x t^{d + 1} (A, f) ≅ E x t^{d + 2} (A, h) = 0$ . 故 $f$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射.

$“ \Leftarrow " .$ 对 $M o r$ - $R$ 中的任意态射 $f$ ，存在正合序列 $0 \to f \to e \to c \to 0$ 使得 $e$ 是内射态射. 由此可得 $c$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom态射. 由命题 5知 $f$ 是 $(n, d + 1)$ - $E x t$ -phantom态射.因此由定理2知 $R$ 是右 $(n, d + 1)$ -环.

（ii） $“ \Rightarrow " .$ 设 $g$ 是 $R$ - $M o r$ 中 $(n, d)$ -phantom 态射 $p$ 的子态射. 则存在 $R$ - $M o r$ 中的正合序列 $0 \to g \to p \to l \to 0$ . 由于 $R$ 是右弱 $(n, d + 1)$ -环，由定理 2知 $l$ 是 $(n, d + 1)$ -phantom 态射. 所以对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $B$ ，由长正合序列可得 $T o r_{d + 1} (B, g) ≅ T o r_{d + 2} (B, l) = 0$ . 故 $g$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射.

$“ \Leftarrow " .$ 对 $R$ - $M o r$ 中的任意态射 $g$ ，存在正合序列 $0 \to k \to p \to g \to 0$ 使得 $p$ 是投射态射. 由此可得 $k$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射. 由命题 4知 $g$ 是 $(n, d + 1)$ -phantom 态射. 因此根据定理2， $R$ 是右弱 $(n, d + 1)$ -环.

最后，我们用 $(n, d)$ -phantom 与 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射的覆盖与包络给出右 $(n, d + 1)$ -环的新刻画.

定理4 设 $R$ 是右 $n$ -凝聚环且 $d + 1 \geq n$ 或 $R$ 是任意环且 $d + 1 < n$ . 则以下条件等价：

$(i)$ $R$ 是右 $(n, d + 1)$ -环.

$(i i)$ 任意左 $R$ -模存在满的 $(n, d)$ -phantom 包络.

$(i i i)$ 任意右 $R$ -模存在单的 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 覆盖.

证明 $(i) \Rightarrow (i i)$ . 由推论 1知，任意左 $R$ - 模 $M$ 存在 $(n, d)$ -phantom 预包络 $f : M \to N$ . 则存在满态射 $α : M \to I m (f)$ 与嵌入态射 $λ : I m (f) \to N$ 使得 $f = λ α$ . 对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $A$ ，由（i）与引理 4，正合序列 $0 \to I m (f) \overset{λ}{\to} N \to L \to 0$ 诱导出以下正合序列

0 = T o r_{d + 2} (A, L) \to T o r_{d + 1} (A, I m (f)) \overset{T o r_{d + 1} (A, λ)}{\to} T o r_{d + 1} (A, N) .

则 $T o r_{d + 1} (A, λ)$ 是单态射. 注意到 $T o r_{d + 1} (A, λ) T o r_{d + 1} (A, α) = T o r_{d + 1} (A, f) = 0$ ，所以 $T o r_{d + 1}$ $(A, α) = 0$ ，即 $α$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射. 易证 $α$ 是满的 $(n, d)$ -phantom 包络.

$(i i) \Rightarrow (i)$ . 对任意左 $R$ -模 $M$ ，存在正合序列 $0 \to K \overset{ι}{\to} P \to M \to 0$ 使得 $P$ 是投射模. 由（ii）， $K$ 存在满的 $(n, d)$ -phantom 包络 $φ : K \to G$ . 由于 $ι$ 是 $(n, d)$ -phantom 态射，所以 $φ$ 是单态射，从而 $φ$ 是同构. 于是对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $A$ ，有 $T o r_{d + 1} (A, φ) = 0$ ，故 $T o r_{d + 1} (A, K) = 0$ . 即 $(n, 0)$ - $f d (K) \leq d$ ，因此 $(n, 0)$ - $f d (M) \leq d + 1$ . 由引理 4知 $R$ 是右 $(n, d + 1)$ -环.

$(i) \Rightarrow (i i i)$ . 由推论 1知，任意右 $R$ -模 $M$ 存在 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 覆盖 $g : N \to M$ . 于是存在满态射 $β : N \to I m (g)$ 与嵌入态射 $γ : I m (g) \to M$ 使得 $g = γ β$ . 对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $B$ ，由（i）与引理 4知，正合序列 $0 \to K \to N \overset{β}{\to} I m (g) \to 0$ 诱导出以下正合序列

E x t^{d + 1} (B, N) \overset{E x t^{d + 1} (B, β)}{\to} E x t^{d + 1} (B, I m (g)) \to E x t^{d + 2} (B, K) = 0 .

所以 $E x t^{d + 1} (B, β)$ 是满态射. 注意到 $E x t^{d + 1} (B, γ) E x t^{d + 1} (B, β) = E x t^{d + 1} (B, g) = 0$ ，因此 $E x t^{d + 1} (B, γ) = 0$ ，即 $γ$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射. 易证 $γ$ 是单的 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 覆盖.

$(i i i) \Rightarrow (i)$ . 对任意右 $R$ -模 $N$ ，存在正合序列 $0 \to N \to E \overset{ρ}{\to} L \to 0$ 使得 $E$ 是内射模. 由（iii）， $L$ 存在单的 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 覆盖 $ψ : D \to L$ . 由于 $ρ$ 是 $(n, d)$ - $E x t$ -phantom 态射，所以 $ψ$ 是满态射，从而 $ψ$ 是同构. 于是对任意有限 $n$ -表示右 $R$ -模 $B$ ，有 $E x t^{d + 1} (B, ψ) = 0$ ，故 $E x t^{d + 1} (B, L) = 0$ . 即 $(n, 0)$ - $i d (L) \leq d$ ，因此 $(n, 0)$ - $i d (N) \leq d + 1$ . 由引理 4知 $R$ 是右 $(n, d + 1)$ -环.

由注 1，当 $d + 1 = n$ 时， $R$ - $M o d$ 中的 $(1, d)$ -phantom 态射与 $M o d$ - $R$ 中的 $(1, d)$ - $E x t$ -phantom 态射分别是 $n$ -phantom 态射与 $n$ - $E x t$ -phantom 态射（

Mao， 2018； Mao， 2019；Lan et al.， 2021）. 于是可得如下结论.

推论2 （

Mao，2018）对右凝聚环

R

及

n > 1

，以下条件等价：

(i)

w D (R) \leq n

$(i i)$ 任意左 $R$ -模存在满的 $n$ -phantom 包络.

$(i i i)$ 任意右 $R$ -模存在单的 $n$ - $E x t$ -phantom 覆盖.

称环 $R$ 是右 $n$ -遗传环，如果投射右 $R$ - 模的有限 $(n - 1)$ -表示子模是投射的（

Zhu，2011）. 由 Zhu（2011）的定理 3.2知，

R

是右

n

-遗传环当且仅当

R

是右

(n, 1)

-环. 基于以上结论，可得如下推论.

推论3 对任意环 $R$ ，以下条件等价：

$(i)$ $R$ 是右 $n$ -遗传环.

$(i i)$ $R$ - $M o d$ 中的任意态射是 $(n, 1)$ -phantom 态射.

$(i i i)$ $M o d$ - $R$ 中的任意态射是 $(n, 1)$ - $E x t$ -phantom 态射.

$(i v)$ $R$ - $M o r$ 中 $(n, 0)$ -phantom 态射的子态射是 $(n, 0)$ -phantom 态射.

$(v)$ $M o r$ - $R$ 中 $(n, 0)$ - $E x t$ -phantom 态射的商态射是 $(n, 0)$ - $E x t$ -phantom 态射.

$(v i)$ 任意左 $R$ -模存在满的 $(n, 0)$ -phantom 包络.

$(v i i)$ 任意右 $R$ -模存在单的 $(n, 0)$ - $E x t$ -phantom 覆盖.

称环 $R$ 是右半遗传环（

Lam，1999），如果任意有限生成右理想是投射的，等价于

R

是右凝聚环且

w D (R) \leq 1

. 由注1，

R

M o d

中的

(1,0)

-phantom 态射是Herzog（2007）定义的 phantom 态射；

M o d

R

中的

(1,0)

E x t

-phantom 态射是文献 Herzog（2008）定义的

E x t

-phantom 态射. 于是可得如下结论.

推论4 对右凝聚环 $R$ ，以下条件等价：

$(i)$ $R$ 是右半遗传环.

$(i i)$ 任意左 $R$ -模存在满的 phantom 包络.

$(i i i)$ 任意右 $R$ -模存在单的 $E x t$ -phantom 覆盖.

$(i v)$ $R$ - $M o r$ 中 phantom 态射的子态射是 phantom 态射.

$(v)$ $M o r$ - $R$ 中 $E x t$ -phantom 态射的商态射是 $E x t$ -phantom 态射.

$(v i)$ $R$ - $M o d$ 中的任意态射是 phantom 态射.

$(v i i)$ $M o d$ - $R$ 中的任意态射是 $E x t$ -phantom 态射.

称环 $R$ 是右 $n$ -正则环（

Zhu，2011），如果它是右

(n, 0)

-环. 则有如下推论.

推论5 对任意环 $R$ ，以下条件等价：

$(i)$ $R$ 是右 $n$ -正则环.

$(i i)$ $R$ - $M o d$ 中的任意态射是 $(n, 0)$ -phantom 态射.

$(i i i)$ $M o d$ - $R$ 中的任意态射是 $(n, 0)$ - $E x t$ -phantom 态射.

显然， $R$ 是右正则环当且仅当它是右 $1$ -正则环. 于是可得如下结论.

推论6 对任意环 $R$ ，以下条件等价：

$(i)$ $R$ 是右正则环.

$(i i)$ $R$ - $M o d$ 中的任意态射是 phantom 态射.

$(i i i)$ $M o d$ - $R$ 中的任意态射是 $E x t$ -phantom 态射.

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摘要

引入了

</mo><mi>d</mi></mrow></mfenced></math>

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230559&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230556&type=

8.55133343

3.89466691

-phantom 态射与

</mo><mi>d</mi></mrow></mfenced></math>

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230559&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230556&type=

8.55133343

3.89466691

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226657&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226654&type=

4.23333359

2.28600001

-phantom 态射的概念. 利用它们，给出了

</mo><mi>d</mi></mrow></mfenced></math>

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230559&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230556&type=

8.55133343

3.89466691

-环、

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226673&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226670&type=

1.60866666

2.28600001

-遗传环以及

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226673&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226670&type=

1.60866666

2.28600001

-正则环的一系列新刻画.

Abstract

The concepts of

</mo><mi>d</mi></mrow></mfenced></math>

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230559&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230556&type=

8.55133343

3.89466691

-phantom and

</mo><mi>d</mi></mrow></mfenced></math>

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230559&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230556&type=

8.55133343

3.89466691

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226690&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226687&type=

4.99533367

2.70933342

-phantom morphisms are introduced， and are used to characterize

</mo><mi>d</mi></mrow></mfenced></math>

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230559&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230556&type=

8.55133343

3.89466691

-rings，

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226706&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226703&type=

1.86266661

2.62466669

-hereditary rings and

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226706&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226703&type=

1.86266661

2.62466669

-regular rings in various ways.

关键词

<math id="M19"><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo></mo><mi>d</mi></mrow></mfenced></math>https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230559&type=https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230556&type=8.551333433.89466691-phantom态射<math id="M20"><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo></mo><mi>d</mi></mrow></mfenced></math>https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230559&type=https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230556&type=8.551333433.89466691-<math id="M21"><mi mathvariant="normal">E</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">t</mi></math>https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226657&type=https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226654&type=4.233333592.28600001-phantom态射<math id="M22"><mi>n</mi></math>https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226673&type=https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226670&type=1.608666662.28600001-凝聚环<math id="M23"><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo></mo><mi>d</mi></mrow></mfenced></math>https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230559&type=https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230556&type=8.551333433.89466691-环<math id="M24"><mi>n</mi></math>https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226673&type=https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226670&type=1.608666662.28600001-遗传环

Keywords

<math id="M25"><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo></mo><mi>d</mi></mrow></mfenced></math>https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230559&type=https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230556&type=8.551333433.89466691-phantom morphism<math id="M26"><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo></mo><mi>d</mi></mrow></mfenced></math>https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230559&type=https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230556&type=8.551333433.89466691-<math id="M27"><mi mathvariant="normal">E</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">t</mi></math>https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226690&type=https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226687&type=4.995333672.70933342-phantom morphism<math id="M28"><mi>n</mi></math>https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226706&type=https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226703&type=1.862666612.62466669-coherent ring<math id="M29"><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mo></mo><mi>d</mi></mrow></mfenced></math>https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230559&type=https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53230556&type=8.551333433.89466691-ring<math id="M30"><mi>n</mi></math>https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226706&type=https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=53226703&type=1.862666612.62466669-hereditary ring

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DOI：10.13471/j.cnki.acta.snus.2022A030

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