基于Adams离散和Newmark-<italic style="font-style: italic">β</italic>法求解分数阶van der Pol系统

姜宏杰; 刘祚秋; 吕中荣; 刘广

doi:10.13471/j.cnki.acta.snus.2021B034

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基于Adams离散和Newmark-β法求解分数阶van der Pol系统

研究论文 | 更新时间：2023-11-01

- 基于Adams离散和Newmark-β法求解分数阶van der Pol系统
- Solving fractional van der Pol system based on Adams discretization and Newmark-β method
- 中山大学学报(自然科学版)(中英文) 2022年61卷第5期页码：126-132
- 作者机构：
  
  中山大学航空航天学院，广东广州 510006
- 作者简介：
  
  姜宏杰（1996年生），男；研究方向：非线性振动；E-mail：jianghj7@mail2.sysu.edu.cn
  刘广（1992年生），男；研究方向：非线性振动、参数识别等；E-mail：liug36@mail.sysu.edu.cn
- 基金信息：
  
  国家自然科学基金(11272361;11972380)
- DOI：10.13471/j.cnki.acta.snus.2021B034
  中图分类号： V21
- 纸质出版日期：2022-09-25，
  
  网络出版日期：2022-01-26，
  
  收稿日期：2021-04-17，
  
  录用日期：2021-05-21
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姜宏杰,刘祚秋,吕中荣等.基于Adams离散和Newmark-,β法求解分数阶van der Pol系统[J].中山大学学报(自然科学版),2022,61(05):126-132.

JIANG Hongjie,LIU Zuoqiu,LU Zhongrong,et al.Solving fractional van der Pol system based on Adams discretization and Newmark-,β method[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni,2022,61(05):126-132.
姜宏杰,刘祚秋,吕中荣等.基于Adams离散和Newmark-,β法求解分数阶van der Pol系统[J].中山大学学报(自然科学版),2022,61(05):126-132. DOI： 10.13471/j.cnki.acta.snus.2021B034.

JIANG Hongjie,LIU Zuoqiu,LU Zhongrong,et al.Solving fractional van der Pol system based on Adams discretization and Newmark-,β method[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni,2022,61(05):126-132. DOI： 10.13471/j.cnki.acta.snus.2021B034.

摘要

文章着重研究了含分数阶微分算子的van der Pol方程的数值解法。首先，基于Adams离散提出了一种针对Caputo分数阶导数的离散格式；然后，进一步基于Newmark-

法构造了完整的逐步迭代格式；最后，通过Newton-Raphson迭代求得了非线性系统的响应。在算例分析部分，讨论了分数阶次为

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的van der Pol系统的数值响应。当

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时，将所提算法和四阶Runge-Kutta法进行了对比。结果表明，所提数值方法对整数阶微分系统也同样适用。

Abstract

This paper focuses on the numerical solution method of the van der Pol equation with fractional differential operators. In this paper， a discretization scheme based on the Adams discretization is proposed for Caputo fractional derivative. Then， a complete iterative scheme is constructed based on the Newmark-

method. Finally， the numerical solution of the nonlinear discretization equation is obtained by Newton-Raphson iteration. In the numerical examples， the numerical responses of van der Pol systems with fractional order

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are discussed respectively. Moreover， the comparison between the proposed method and the fourth-order Runge-Kutta method is also discussed. The results proved that the proposed numerical scheme is also suitable for integer-order differential systems.

关键词

分数阶导数van der Pol系统Adams离散Newmark-β法数值解

Keywords

fractional-order derivativevan der Pol systemAdams discretizationNewmark-β methodnumerical solution

references

张丹伟，刘济科，黄建亮. 非线性系统准周期振动的多时间尺度IHB法［J］. 中山大学学报（自然科学版）， 2018， 57（6）： 63-70.

牛江川，申永军，杨绍普，等. 分数阶PID控制对单自由度线性振子的影响［J］. 振动与冲击， 2016， 35（24）： 88-95.

LIU G ， WANG L ， LUO W L ， et al. Parameter identification of fractional order system using enhanced response sensitivity approach［J］. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2019， 67： 492-505.

刘广，刘济科，吕中荣. 基于时域响应灵敏度分析的非线性系统参数识别［J］. 振动与冲击， 2018， 37（21）： 213-219.

LIU G， WANG L， LIU J K， et al. Parameter identification of nonlinear aeroelastic system with time-delayed feedback control［J］. AIAA Journal， 2019， 58（1）： 415-425.

LEUNG Y T， YANG H X， GUO Z J. The residue harmonic balance for fractional order van der Pol like oscillators［J］. Journal of Sound and Vibration， 2011，331（5）： 1115-1126.

BARBOSA R S ， MACHADO J A T ， VINAGRE B M ，et al. Analysis of the van der Pol oscillator containing derivatives of fractional order［J］. Journal of Vibration and Control， 2007， 13（9/10）： 1291-1301.

CHEN J H ， CHEN W C . Chaotic dynamics of the fractionally damped van der Pol equation［J］. Chaos， Solitons & Fractals， 2006， 35（1）： 188-198.

毛北行，李巧利. 一类分数阶Duffling-van der pol系统的混沌同步［J］. 吉林大学学报（理学版）， 2016， 54（2）： 369-373.

韦鹏，申永军，杨绍普. 分数阶van der Pol振子的超谐共振［J］. 物理学报， 2014， 63（1）： 47-58.

WU B S ， LIM C W . Large amplitude non-linear oscillations of a general conservative system［J］. International Journal of Non-Linear Mechanics， 2004， 39（5）： 859-870.

LIU G， LU Z R， WANG L， et al. A new semi-analytical technique for nonlinear systems based on response sensitivity <math id="M129"><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">y</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">s</mi></math>https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441858&type=https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441847&type=10.075333602.96333337［J］. Nonlinear Dynamics， 2021， 103（2）： 1529-1551.

刘洋，李承楚，牟永光. 任意偶数阶精度有限差分法数值模拟［J］. 石油地球物理勘探， 1998， 33（1）： 1-10.

PRINCE P J ， DORMAND J R . High order embedded Runge-Kutta formulae［J］. Journal of Computation and Applied<math id="M130"><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">h</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">s</mi></math>https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441869&type=https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441854&type=15.832667352.28600001， 1981， 7（1）： 67-75.

富明慧，刘祚秋，林敬华. 一种广义精细积分法［J］. 力学学报， 2007（5）： 672-677.

DIETHELM K ， FORD N J ， FREED A D . A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations［J］. Nonlinear Dynamics， 2002， 29（1/4）： 3-22.

雷金贵，陈文兵.一类解非线性方程的Newton型迭代法［J］. 南京信息工程大学学报（自然科学版），2009，1（4）： 377-381.

WEN S F ， SHEN Y J ， LI X H ，et al. Dynamical analysis of mathieu equation with two kinds of van der Pol fractional-order terms［J］. International Journal of Non-Linear Mechanics， 2016， 84： 130-138.

LIN R ， LIU F . Fractional high order methods for the nonlinear fractional ordinary differential equation［J］. Nonlinear <math id="M131"><mi mathvariant="normal">A</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">y</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">s</mi></math>https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441893&type=https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441888&type=10.752667432.96333337：Theory，Methods & Applications， 2005， 66（4）： 856-869.

MEERSCHAERT M M ， SCHEFFLER H P ， TADJERAN C . Finite difference methods for two-dimensional fractional <math id="M132"><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></math>https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441887&type=https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441897&type=12.869333272.96333337 equation［J］. Journal of Computational Physics， 2005， 211（1）： 249-261.

MACDONALD C L ， BHATTACHARYA N ， SPROUSE B P ， et al. Efficient computation of the Grünwald-Letnikov <math id="M133"><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">l</mi></math>https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441910&type=https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49441906&type=11.768667222.28600001 diffusion derivative using adaptive time step memory［J］. Journal of Computational Physics， 2015， 297： 221-236.

李亚杰，吴志强，章国齐.基于Caputo导数的分数阶非线性振动系统响应计算［J］.计算力学学报， 2018， 35（4）： 466-472.

ZAID O . Approximations of fractional integrals and Caputo fractional derivatives［J］. Applied Mathematics and Computations， 2005， 178（2）： 527-533.

LIU Q X ， LIU J K ， CHEN Y M . An explicit hybrid method for multi-term fractional differential equations based on Adams and Runge-Kutta schemes［J］. Nonlinear Dynamics， 2016， 84（4）： 2195-2203.

刘广，刘济科，陈衍茂. 基于Wilson-θ和Newmark-β法的非线性动力学方程改进算法［J］.计算力学学报， 2017，34（4）：433-439.

LU Z R ， LIU G ， LIU J K ， et al. Parameter identification of nonlinear fractional-order systems by enhanced response sensitivity approach［J］. Nonlinear Dynamics， 2019， 95（2）： 1495-1512.

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Solving fractional van der Pol system based on Adams discretization and Newmark-β method

DOI：10.13471/j.cnki.acta.snus.2021B034

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