多孔介质中Brinkman方程组解的连续依赖性

石金诚

doi:10.13471/j.cnki.acta.snus.2021A004

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多孔介质中Brinkman方程组解的连续依赖性

研究论文 | 更新时间：2023-11-01

- 多孔介质中Brinkman方程组解的连续依赖性
- Continuous dependence of solutions for the Brinkman equations in porous media
- 角色： First author , 第一作者 ,
  
  机构：
  广州华商学院数据科学学院，广东广州 511300
  
  邮箱： shijc0818@gdhsc.edu.cn
  
  简介：石金诚（1983年生），男；研究方向：偏微分方程；E-mail：shijc0818@gdhsc.edu.cn
  
  暂无本作者相关信息
  石金诚
  ，
- 中山大学学报(自然科学版)(中英文) 2023年62卷第3期页码：161-168
- 作者机构：
  
  广州华商学院数据科学学院，广东广州 511300
- 作者简介：
  
  石金诚（1983年生），男；研究方向：偏微分方程；E-mail：shijc0818@gdhsc.edu.cn
- 基金信息：
  
  国家自然科学基金(11371175)
- DOI：10.13471/j.cnki.acta.snus.2021A004
  中图分类号： O175.29
- 纸质出版日期：2023-05-25，
  
  网络出版日期：2023-03-18，
  
  收稿日期：2021-01-11，
  
  录用日期：2021-03-05
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石金诚.多孔介质中Brinkman方程组解的连续依赖性[J].中山大学学报(自然科学版),2023,62(03):161-168.

SHI Jincheng.Continuous dependence of solutions for the Brinkman equations in porous media[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni,2023,62(03):161-168.
石金诚.多孔介质中Brinkman方程组解的连续依赖性[J].中山大学学报(自然科学版),2023,62(03):161-168. DOI： 10.13471/j.cnki.acta.snus.2021A004.

SHI Jincheng.Continuous dependence of solutions for the Brinkman equations in porous media[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni,2023,62(03):161-168. DOI： 10.13471/j.cnki.acta.snus.2021A004.

摘要

考虑了三维有界凸区域上带有Soret效应的Brinkman方程组的连续依赖性。利用微分不等式，得到解的相关估计，尤其是推导出了盐浓度的四阶范数估计。最终运用能量方法和先验估计，建立了方程组的解对Brinkman系数 $λ$ 的连续依赖性。

译

Abstract

The continuous dependence of Brinkman equations with Soret effect on a three-dimensional bounded convex domain is considered. By using differential inequality， the correlation estimates of the solution is obtained， especially the fourth-order norm estimation of salt concentration is derived. Finally， using the energy method and the prior estimation， the continuous dependence of the solution of the equations on Brinkman coefficient $λ$ is established.

译

关键词

Brinkman方程组; 连续依赖性; Brinkman系数; Soret系数

译

Keywords

Brinkman equations; continuous dependence; Brinkman coefficient; Soret coefficient

译

Straughan et al.（1999）引入了具有Soret 效应且不可压缩的对流扩散Brinkman方程，他们在有界区域内建立了解对Soret系数的连续依赖性，有关Brinkman方程更系统的介绍见文献（Nield et al.，1992；Straughan，2008）。偏微分方程（组）的连续依赖性或收敛性，称之为结构稳定性，关于结构稳定性的本质见文献（Ames et al.，1997）。

译

近年来，多孔介质中流体方程组的研究越来越受到学者们的关注，其中较为典型的流体方程组有Brinkman、Darcy和Forchheimer方程组，文献（

Payne et al.，2007）讨论了这些方程组的Saint-Venant原理。文献（Franchi et al.，2003；Lin et al.，2007；Ciarletta et al.，2015；Cichon et al.2015；Chen et al.，2016；Liu，2017；Liu et al.，2018a；Liu et al.，2018b；李远飞，2019a；李远飞，2019b；李远飞等，2019；李远飞，2020）讨论了包括Brinkman、Darcy和Forchheimer方程组在内更多偏微分方程组的结构稳定性，获得了一些新的成果。本文我们考虑如下Brinkman方程组

译

$\{\begin{array}{l} \frac{\partial u_{i}}{\partial t} = λ ∆ u_{i} - u_{i} - p_{, i} + g_{i} T + h_{i} C, \\ \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}} = 0, \\ \frac{\partial T}{\partial t} + u_{i} T_{, i} = ∆ T, \\ \frac{\partial C}{\partial t} + u_{i} C_{, i} = ∆ C + σ Δ T, \end{array}$

$(x, t) \in Ω \times [0, τ],$

（1）

其中 $u_{i}$ ， $p$ ， $T$ ， $C$ 分别为速度、压强、温度和盐浓度， $g_{i} (x)$ 和 $h_{i} (x)$ 为重力函数且 $|g_{i}|, |h_{i}| \leq 1$ ， $∆$ 为拉普拉斯算子， $σ > 0$ 是Soret系数， $λ > 0$ 是Brinkman系数。

译

方程组（1）在 $Ω \times [0, τ]$ 内成立，其中 $Ω$ 是 $R^{3}$ 中有界单连通的凸区域， $τ$ 是固定的一个常数且 $0 \leq τ < + \infty$ .我们所考虑的温度与盐浓度的边界是绝缘的，并且溶质通过边界的通量为0。

译

其边界条件为

译

$u_{i} = 0, \frac{\partial T}{\partial n} = 0, \frac{\partial C}{\partial n} = 0, (x, t) \in \partial Ω \times [0, τ] .$

（2）

此外，初始条件为

译

$u_{i} (x, 0) = f_{i} (x), T (x, 0) = T_{0} (x), C (x, 0) = C_{0} (x), x \in Ω .$

本文研究了方程组（1）的解对Brinkman系数 $λ$ 的连续依赖性。为了获得连续依赖性的结果，通常的做法是利用温度和盐浓度的最大值，去推导出交叉项的先验界，而本文方程组（1）的第4个方程中含有温度的拉普拉斯项，该项的存在导致盐浓度 $C$ 的最大值估计难度很大。为了克服这个难题，我们采用给出 $C$ 的四阶范数的先验界。为了推导出到 $C$ 的四阶范数的先验界而构造的函数是文中最大创新点。

译

本文用逗号表示求偏导，下标 $, i$ 表示对 $x_{i}$ 求偏导，如 $: u_{, i}$ 表示为 $\frac{\partial u}{\partial x_{i}}$ ，重复指标表示求和， $u_{i, i} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}}$ ， $u_{i, j} u_{i, j} = \sum_{i, j = 1}^{3} {(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}})}^{2} .$

译

1 先验估计

本节中将给出在后面定理的证明中所需的若干估计。

译

引理1 对于温度 $T$ ，我们有如下估计

译

$\underset{[0, τ]}{S u p} {‖T‖}_{\infty} \leq T_{M},$

（3）

$\int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} T_{, i} T_{, i} d x d η \leq \frac{1}{2} \int_{Ω}^{} T_{0}^{2} d x,$

（4）

其中 $T_{M} = {‖T_{0}‖}_{\infty}$ .

译

证明在方程组 $(1)$ 的第3个方程两边同时乘以 $T^{2 p - 1}$ ， $p \geq 1$ ，并在 $Ω$ 上积分得

译

$\frac{1}{2 p} \frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} {|T|}^{2 p} d x + \int_{Ω}^{} u_{i} T_{, i} T^{2 p - 1} d x = \int_{Ω}^{} T_{, i i} T^{2 p - 1} d x .$

（5）

由散度定理和式（2）得

译

$\int_{Ω}^{} u_{i} T_{, i} T^{2 p - 1} d x = - (2 p - 1) \int_{Ω}^{} u_{i} T_{, i} T^{2 p - 1} d x,$

$\int_{Ω}^{} T_{, i i} T^{2 p - 1} d x = - (2 p - 1) \int_{Ω}^{} T_{, i} T_{, i} T^{2 p - 2} d x = - \frac{2 p - 1}{p^{2}} \int_{Ω}^{} {(T^{p})}_{, i} {(T^{p})}_{, i} d x .$

从而

译

$\int_{Ω}^{} u_{i} T_{, i} T^{2 P - 1} d x = 0,$

且式（5）化为

译

$\frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} {|T|}^{2 p} d x + \frac{2 (2 p - 1)}{p} \int_{Ω}^{} {(T^{p})}_{, i} {(T^{p})}_{, i} d x = 0 .$

对上式从0到 $t$ 积分得

译

$\int_{Ω}^{} {|T|}^{2 p} d x + \frac{2 (2 p - 1)}{p} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {(T^{p})}_{, i} {(T^{p})}_{, i} d x d η = \int_{Ω}^{} T_{0}^{2 p} d x .$

（6）

两边取 $\frac{1}{2 p}$ 次方，并让 $p$ 趋于无穷大，取极限得

译

$\underset{[0, τ]}{S u p} {‖T‖}_{\infty} \leq {‖T_{0}‖}_{\infty} .$

即证明了式（3）。

译

在式（6）中取 $p = 1$ ，有

译

$\int_{Ω}^{} {|T|}^{2} d x + 2 \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} T_{, i} T_{, i} d x d η = \int_{Ω}^{} T_{0}^{2} d x .$

则

译

$\begin{array}{l} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} T_{, i} T_{, i} d x d η \leq \frac{1}{2} \int_{Ω}^{} T_{0}^{2} d x . \end{array}$

证毕

译

引理2 对于盐浓度 $C$ ，我们有如下估计

译

$\int_{Ω}^{} C^{2} d x + \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} C_{, i} C_{, i} d x d η \leq L_{1}$ ，

（7）

其中 $L_{1} = \frac{σ^{2}}{2} \int_{Ω}^{} T_{0}^{2} d x + \int_{Ω}^{} C_{0}^{2} d x .$

译

证明在方程组 $(1)$ 的第4个方程两边同时乘以 $C$ ，并在 $Ω$ 上积分，由Hölder不等式和算术几何平均不等式得

译

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} C^{2} d x + \int_{Ω}^{} C_{, i} C_{, i} d x$

$= - σ \int_{Ω}^{} C_{, i} T_{, i} d x \leq \frac{1}{2} \int_{Ω}^{} C_{, i} C_{, i} d x + \frac{σ^{2}}{2} \int_{Ω}^{} T_{, i} T_{, i} d x .$

由上式可知

译

$\frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} C^{2} d x + \int_{Ω}^{} C_{, i} C_{, i} d x \leq σ^{2} \int_{Ω}^{} T_{, i} T_{, i} d x$ .

将上式从0到 $t$ 积分，并由式（4）得

译

$\begin{array}{l} \int_{Ω}^{} C^{2} d x + \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} C_{, i} C_{, i} d x d η \leq \frac{σ^{2}}{2} \int_{Ω}^{} T_{0}^{2} d x + \int_{Ω}^{} C_{0}^{2} d x = L_{1} . \end{array}$

证毕

译

引理3 对于盐浓度 $C$ ，我们有如下的4阶范数估计

译

$\int_{Ω}^{} C^{4} d x \leq L_{2}$ ，

（8）

其中 $L_{2} = \int_{Ω}^{} C_{0}^{4} d x + 12 σ^{2} \int_{Ω}^{} T_{0}^{2} C_{0}^{2} d x + m L_{1} + \frac{n}{2} \int_{Ω}^{} T_{0}^{2} d x .$

译

证明在方程组 $(1)$ 的第4个方程两边同时乘以 $C^{3}$ ，并在 $Ω$ 上积分得

译

$\begin{array}{l} \frac{1}{4} \frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} C^{4} d x = \int_{Ω}^{} C^{3} (∆ C + σ Δ T - u_{i} C_{, i}) d x \\ = - 3 \int_{Ω}^{} C^{2} {|\nabla C|}^{2} d x - 3 σ \int_{Ω}^{} C^{2} C_{, i} T_{, i} d x \\ = - 3 \int_{Ω}^{} C^{2} {|\nabla C|}^{2} d x - 3 σ \int_{Ω}^{} C C_{, i} [C T_{, i} + T C_{, i}] d x + 3 σ \int_{Ω}^{} C T {|\nabla C|}^{2} d x . \end{array}$

运用式（3），Hölder不等式和算术几何平均不等式，可得

译

$\begin{array}{l} \frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} C^{4} d x \leq - 12 \int_{Ω}^{} C^{2} {|\nabla C|}^{2} d x + 6 σ ε_{1} \int_{Ω}^{} C^{2} {|\nabla C|}^{2} d x \\ + \frac{6 σ}{ε_{1}} \int_{Ω}^{} (C T_{, i} + T C_{, i}) (C T_{, i} + T C_{, i}) d x + 6 σ ε_{2} \int_{Ω}^{} C^{2} {|\nabla C|}^{2} d x + \frac{6 σ T_{M}^{2}}{ε_{2}} \int_{Ω}^{} {|\nabla C|}^{2} d x, \end{array}$

（9）

其中 $ε_{1}$ ， $ε_{2}$ 是大于零的任意常数。

译

运用方程组 $(1)$ 的第3个、第4个方程以及Hölder不等式，可得

译

$\begin{array}{l} \frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} T^{2} C^{2} d x = 2 \int_{Ω}^{} T C^{2} T_{, t} d x + 2 \int_{Ω}^{} C T^{2} C_{, t} d x \\ = 2 \int_{Ω}^{} T C^{2} (∆ T - u_{i} T_{, i}) d x + 2 \int_{Ω}^{} C T^{2} (∆ C + σ Δ T - u_{i} C_{, i}) d x \\ = - 2 \int_{Ω}^{} (C T_{, i} + T C_{, i}) (C T_{, i} + T C_{, i}) d x - 4 \int_{Ω}^{} T T_{, i} C C_{, i} d x - 4 σ \int_{Ω}^{} T C {|\nabla T|}^{2} d x - 2 σ \int_{Ω}^{} T^{2} T_{, i} C_{, i} d x \\ = - 2 \int_{Ω}^{} (C T_{, i} + T C_{, i}) (C T_{, i} + T C_{, i}) d x - 4 \int_{Ω}^{} T T_{, i} C C_{, i} d x \\ - 4 σ \int_{Ω}^{} T T_{, i} (C T_{, i} + T C_{, i}) d x + 2 σ \int_{Ω}^{} T^{2} T_{, i} C_{, i} d x . \end{array}$

再运用式（3），Hölder不等式和算术几何平均不等式，可得

译

$\begin{array}{l} \frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} T^{2} C^{2} d x \leq - 2 \int_{Ω}^{} (C T_{, i} + T C_{, i}) (C T_{, i} + T C_{, i}) d x + 2 ε_{3} \int_{Ω}^{} C^{2} {|\nabla C|}^{2} d x \\ + \frac{2 T_{M}^{2}}{ε_{3}} \int_{Ω}^{} T_{, i} T_{, i} d x + 2 σ ε_{4} \int_{Ω}^{} (C T_{, i} + T C_{, i}) (C T_{, i} + T C_{, i}) d x \\ + \frac{2 σ T_{M}^{2}}{ε_{4}} \int_{Ω}^{} T_{, i} T_{, i} d x + σ T_{M}^{2} \int_{Ω}^{} T_{, i} T_{, i} d x + σ T_{M}^{2} \int_{Ω}^{} C_{, i} C_{, i} d x, \end{array}$

（10）

其中 $ε_{3}$ ， $ε_{4}$ 是大于零的任意常数。

译

联合式（9）~（10），可得

译

$\begin{array}{l} \frac{d}{d t} (\int_{Ω}^{} C^{4} d x + k \int_{Ω}^{} T^{2} C^{2} d x) \leq - (12 - 6 σ ε_{1} - 6 σ ε_{2} - 2 k ε_{3}) \int_{Ω}^{} C^{2} {|\nabla C|}^{2} d x \\ - (2 k - 2 k σ ε_{4} - \frac{6 σ}{ε_{1}}) \int_{Ω}^{} (C T_{, i} + T C_{, i}) (C T_{, i} + T C_{, i}) d x \\ + (\frac{6 σ T_{M}^{2}}{ε_{2}} + k σ T_{M}^{2}) \int_{Ω}^{} C_{, i} C_{, i} d x + (\frac{2 k T_{M}^{2}}{ε_{3}} + \frac{2 k σ T_{M}^{2}}{ε_{4}} + k σ T_{M}^{2}) \int_{Ω}^{} T_{, i} T_{, i} d x, \end{array}$

（11）

其中 $k$ 是大于零的任意常数。

译

式（11）中，取 $ε_{1} = ε_{2} = \frac{1}{2 σ}$ ， $k = 12 σ^{2}$ ， $ε_{3} = \frac{1}{4 σ^{2}}$ ， $ε_{4} = \frac{1}{2 σ}$ ，可得

译

$\frac{d}{d t} (\int_{Ω}^{} C^{4} d x + 12 σ^{2} \int_{Ω}^{} T^{2} C^{2} d x) \leq m \int_{Ω}^{} C_{, i} C_{, i} d x + n \int_{Ω}^{} T_{, i} T_{, i} d x,$

（12）

其中 $m = 12 σ^{2} T_{M}^{2} (1 + σ)$ ， $n = 12 σ^{3} T_{M}^{2} (1 + 12 σ)$ .

译

将式（4）和式（7）代入式（12），可得

译

$\int_{Ω}^{} C^{4} d x + 12 σ^{2} \int_{Ω}^{} T^{2} C^{2} d x \leq L_{2}$ ，

其中 $L_{2} = \int_{Ω}^{} C_{0}^{4} d x + 12 σ^{2} \int_{Ω}^{} T_{0}^{2} C_{0}^{2} d x + m L_{1} + \frac{n}{2} \int_{Ω}^{} T_{0}^{2} d x$ .

译

证毕

译

2 连续依赖性

假设 $(u_{i}, T, C, p)$ 是如下Brinkman方程组初边值问题的解

译

$\{\begin{array}{l} \frac{\partial u_{i}}{\partial t} = λ_{1} ∆ u_{i} - u_{i} - p_{, i} + g_{i} T + h_{i} C, \\ \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}} = 0, \\ \frac{\partial T}{\partial t} + u_{i} T_{, i} = ∆ T, \\ \frac{\partial C}{\partial t} + u_{i} C_{, i} = ∆ C + σ Δ T, \end{array}$

$(x, t) \in Ω \times [0, τ],$

（13）

边界条件为

译

$u_{i} = 0, \frac{\partial T}{\partial n} = 0, \frac{\partial C}{\partial n} = 0, (x, t) \in \partial Ω \times [0, τ]$ ，

（14）

初始条件为

译

$u_{i} (x, 0) = f_{i} (x), T (x, 0) = T_{0} (x), C (x, 0) = C_{0} (x), x \in Ω$ .

（15）

此外，假设 $(u_{i}^{*}, T^{*}, C^{*}, p^{*})$ 是如下Brinkman方程组初边值问题的解

译

$\{\begin{array}{l} \frac{\partial u_{i}^{*}}{\partial t} = λ_{2} ∆ u_{i}^{*} - u_{i}^{*} - p_{, i}^{*} + g_{i} T^{*} + h_{i} C^{*}, \\ \frac{\partial u_{i}^{*}}{\partial x_{i}} = 0, \\ \frac{\partial T^{*}}{\partial t} + u_{i}^{*} T_{, i}^{*} = ∆ T^{*}, \\ \frac{\partial C^{*}}{\partial t} + u_{i}^{*} C_{, i}^{*} = ∆ C^{*} + σ Δ T^{*}, \end{array}$

$(x, t) \in Ω \times [0, τ],$

（16）

边界条件为

译

$u_{i}^{*} = 0, \frac{\partial T^{*}}{\partial n} = 0, \frac{\partial C^{*}}{\partial n} = 0, (x, t) \in \partial Ω \times [0, τ],$

（17）

初始条件为

译

$u_{i}^{*} (x, 0) = f_{i} (x), T^{*} (x, 0) = T_{0} (x), C^{*} (x, 0) = C_{0} (x), x \in Ω .$

（18）

我们定义解的差为： $ω_{i} = u_{i} - u_{i}^{*}$ ， $θ = T - T^{*}$ ， $S = C - C^{*}$ ， $π = p - p^{*}$ ， $λ = λ_{1} - λ_{2}$ ，则 $(ω_{i}, θ, S, π)$ 满足如下初边值问题

译

$\{\begin{array}{l} \frac{\partial ω_{i}}{\partial t} = λ_{2} ∆ ω_{i} + λ ∆ u_{i} - ω_{i} - π_{, i} + g_{i} θ + h_{i} S, \\ \frac{\partial ω_{i}}{\partial x_{i}} = 0, \\ \frac{\partial θ}{\partial t} + ω_{i} T_{, i} + u_{i}^{*} θ_{, i} = ∆ θ, \\ \frac{\partial S}{\partial t} + ω_{i} C_{, i} + u_{i}^{*} S_{, i} = ∆ S + σ Δ θ, \end{array}$

$(x, t) \in Ω \times [0, τ],$

（19）

边界条件为

译

$ω_{i} = 0, \frac{\partial θ}{\partial n} = 0, \frac{\partial S}{\partial n} = 0, (x, t) \in \partial Ω \times [0, τ]$ ，

（20）

初始条件为

译

$ω_{i} (x, 0) = 0$ ，

$θ (x, 0) = 0$ ，

$S (x, 0) = 0, x \in Ω$ .

引理4 对于速度 $u_{i}$ ，有如下估计

译

$\int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x d η \leq m_{1} (t)$ ，

（21）

其中 $m_{1} (t) = \frac{1}{2 λ_{1}} T_{M}^{2} |Ω| t + \frac{1}{2 λ_{1}} L_{1} t + \frac{1}{2 λ_{1}} \int_{Ω}^{} f_{i} f_{i} d x$ ， $|Ω|$ 为 $Ω$ 的体积。

译

证明在方程组 $(13)$ 的第1个方程两边同时乘以2 $u_{i}$ ，并在 $Ω$ 上积分得

译

$\frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} u_{i} u_{i} d x + 2 λ_{1} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x \leq \int_{Ω}^{} T^{2} d x + \int_{Ω}^{} C^{2} d x .$

对上式从0到 $t$ 积分，并结合式（15）可得

译

$\int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x d η \leq \frac{1}{2 λ_{1}} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} T^{2} d x d η + \frac{1}{2 λ_{1}} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} C^{2} d x d η + \frac{1}{2 λ_{1}} \int_{Ω}^{} f_{i} f_{i} d x$ .

由上式及式（3）和式（7）可得式（21）。

译

证毕

译

接下来，将给出本文主要结果的证明。

译

定理1 设 $(u_{i}, T, C, p)$ 为初边值问题（13）~（15）的古典解， $(u_{i}^{*}, T^{*}, C^{*}, p^{*})$ 为初边值问题（16）~（18）的古典解， $(ω_{i}, θ, S, π)$ 是这两个解的差。当Brinkman系数 $差 λ$ 趋于 $0$ 时，解 $(u_{i}, T, C, p)$ 收敛于解 $(u_{i}^{*}, T^{*}, C^{*}, p^{*})$ ，且 $(ω_{i}, θ, S, π)$ 满足

译

$k_{1} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x + k_{2} \int_{Ω}^{} θ^{2} d x + \int_{Ω}^{} S^{2} d x \leq \frac{k_{1} λ^{2}}{λ_{2}} e^{k_{3} t} m_{1} (t),$

其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 是大于零的常数。

译

证明在方程组 $(19)$ 的第1个方程两边同时乘以2 $ω_{i}$ ，并在 $Ω$ 上积分，由式（20）、Hölder不等式和算术几何平均不等式，可得

译

$\frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x + λ_{2} \int_{Ω}^{} ω_{i, j} ω_{i, j} d x \leq \frac{λ^{2}}{λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x + \int_{Ω}^{} θ^{2} d x + \int_{Ω}^{} S^{2} d x .$

（22）

在方程组 $(19)$ 的第3个方程两边同时乘以2 $θ$ ，并在 $Ω$ 上积分，可得

译

$\frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} θ^{2} d x + 2 \int_{Ω}^{} ω_{i} T_{, i} θ d x + 2 \int_{Ω}^{} θ u_{i}^{*} θ_{, i} d x = 2 \int_{Ω}^{} θ Δ θ d x$ .

（23）

由散度定理和式（20），可得

译

$2 \int_{Ω}^{} ω_{i} T_{, i} θ d x = - 2 \int_{Ω}^{} ω_{i} T θ_{, i} d x,$

$2 \int_{Ω}^{} θ Δ θ d x = - 2 \int_{Ω}^{} θ_{, i} θ_{, i} d x$ .

从而由散度定理、Hölder不等式、式（3）和式（20），可将式（23）变为

译

$\frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} θ^{2} d x + \int_{Ω}^{} θ_{, i} θ_{, i} d x \leq T_{M}^{2} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x$ .

（24）

在方程组 $(19)$ 第4个方程两边同时乘以2 $S$ ，并在 $Ω$ 上积分，可得

译

$\frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} S^{2} d x + 2 \int_{Ω}^{} ω_{i} C_{, i} S d x + 2 \int_{Ω}^{} u_{i}^{*} S_{, i} S d x = 2 \int_{Ω}^{} S Δ S d x + 2 σ \int_{Ω}^{} S Δ θ d x .$

由散度定理和式（20），可得

译

$2 \int_{Ω}^{} S Δ S d x + 2 σ \int_{Ω}^{} S Δ θ d x = - 2 \int_{Ω}^{} S_{, i} S_{, i} d x - 2 σ \int_{Ω}^{} S_{, i} θ_{, i} d x,$

$2 \int_{Ω}^{} ω_{i} C_{, i} S d x = - 2 \int_{Ω}^{} ω_{i} C S_{, i} d x .$

从而

译

$\frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} S^{2} d x + 2 \int_{Ω}^{} S_{, i} S_{, i} d x = 2 \int_{Ω}^{} ω_{i} C S_{, i} d x - 2 σ \int_{Ω}^{} S_{, i} θ_{, i} d x .$

运用Hölder不等式和Young不等式，可得

译

$\begin{array}{l} \frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} S^{2} d x + 2 \int_{Ω}^{} S_{, i} S_{, i} d x \leq 2 {(\int_{Ω}^{} {(ω_{i} ω_{i})}^{2} d x)}^{\frac{1}{4}} {(\int_{Ω}^{} C^{4} d x)}^{\frac{1}{4}} {(\int_{Ω}^{} S_{, i} S_{, i} d x)}^{\frac{1}{2}} + σ^{2} \int_{Ω}^{} θ_{, i} θ_{, i} d x + \int_{Ω}^{} S_{, i} S_{, i} d x \\ \leq {(\int_{Ω}^{} {(ω_{i} ω_{i})}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{Ω}^{} C^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} + σ^{2} \int_{Ω}^{} θ_{, i} θ_{, i} d x + 2 \int_{Ω}^{} S_{, i} S_{, i} d x . \end{array}$

（25）

对于满足在边界上为零的函数 $E$ ，由文献（

Flavin et al.，1995）的结论，我们有如下Sobolev不等式

译

$\int_{Ω}^{} {|E|}^{4} d x \leq c_{1} {(\int_{Ω}^{} {|E|}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{Ω}^{} E_{i, j} E_{i, j} d x)}^{\frac{3}{2}} \leq c_{2} {(\int_{Ω}^{} E_{i, j} E_{i, j} d x)}^{2},$

（26）

其中 $c_{1}$ ， $c_{2}$ 是大于零的常数。

译

在式（26）中，取 $E = ω_{i}$ ，可得

译

$\int_{Ω}^{} {(ω_{i} ω_{i})}^{2} d x \leq c_{2} {(\int_{Ω}^{} ω_{i, j} ω_{i, j} d x)}^{2} .$

（27）

联合式（8）、（25）和（27），可得

译

$\frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} S^{2} d x \leq c_{2} \sqrt[]{L_{2}} \int_{Ω}^{} ω_{i, j} ω_{i, j} d x + σ^{2} \int_{Ω}^{} θ_{, i} θ_{, i} d x$ .

（28）

设 $F (t) = k_{1} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x + k_{2} \int_{Ω}^{} θ^{2} d x + \int_{Ω}^{} S^{2} d x$ ，其中 $k_{1}, k_{2}$ 是大于零的任意常数。则联合式（22）、（24）和（28），可得

译

$\begin{array}{l} \frac{d F (t)}{d t} + k_{1} λ_{2} \int_{Ω}^{} ω_{i, j} ω_{i, j} d x + k_{2} \int_{Ω}^{} θ_{, i} θ_{, i} d x \\ \leq \frac{k_{1} λ^{2}}{λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x + k_{1} \int_{Ω}^{} θ^{2} d x + k_{1} \int_{Ω}^{} S^{2} d x + k_{2} T_{M}^{2} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x + c_{2} \sqrt[]{L_{2}} \int_{Ω}^{} ω_{i, j} ω_{i, j} d x + σ^{2} \int_{Ω}^{} θ_{, i} θ_{, i} d x . \end{array}$

（29）

式（29）中，取 $k_{1} = \frac{c_{2} \sqrt[]{L_{2}}}{λ_{2}}$ ， $k_{2} = σ^{2}$ 时，有

译

$\frac{d F (t)}{d t} \leq k_{3} F (t) + \frac{k_{1} λ^{2}}{λ_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x$ ，

（30）

其中 $k_{3} = m a x \{\frac{k_{1}}{k_{2}}, \frac{k_{2} T_{M}^{2}}{k_{1}}, k_{1}\}$ .

译

对式（30）从0到 $t$ 积分，可得

译

$F (t) \leq \frac{k_{1} λ^{2}}{λ_{2}} \int_{0}^{t} e^{k_{3} (t - η)} (\int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x) d η \leq \frac{k_{1} λ^{2}}{λ_{2}} e^{k_{3} t} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x d η .$

（31）

联合式（21）和式（31），可得

译

$F (t) \leq \frac{k_{1} λ^{2}}{λ_{2}} e^{k_{3} t} m_{1} (t)$ .

证毕

译

注本文我们研究了流体模型的解对Brinkman系数 $λ$ 的连续依赖性。利用文中的类似方法，依然可以建立方程组的解对其他方程系数的连续依赖性。接下来，将考虑在有界区域内方程组的解对边界系数的结构稳定性。由于本文中的方程含有 $∆ u_{i}$ 项，通过该项较容易得到速度梯度的估计，接着我们将讨论不含有该项的情况，此时如何获取速度梯度的估计将会是面临的最大障碍，我们会在后续文章中进行研究。

译

参考文献

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摘要

考虑了三维有界凸区域上带有Soret效应的Brinkman方程组的连续依赖性。利用微分不等式，得到解的相关估计，尤其是推导出了盐浓度的四阶范数估计。最终运用能量方法和先验估计，建立了方程组的解对Brinkman系数

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https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49418943&type=

2.28600001

2.62466669

的连续依赖性。

Abstract

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https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49418975&type=

2.28600001

2.62466669

is established.

关键词

Brinkman方程组连续依赖性Brinkman系数Soret系数

Keywords

Brinkman equationscontinuous dependenceBrinkman coefficientSoret coefficient

references

李远飞， 2019a.大尺度海洋大气动力学三维黏性原始方程对边界参数的连续依赖性［J］. 吉林大学学报（理学版）， 57（5）： 1053-1059.

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