交错群<inline-formula><alternatives><math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">167</mn></mrow></msub></math><graphic specific-use="big" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="alternativeImage/BB532D79-69C1-4a8a-97E1-F0D5443A9BEC-M001.jpg"><?fx-imagestate width="10.75266743" height="7.45066643"?></graphic><graphic specific-use="small" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="alternativeImage/BB532D79-69C1-4a8a-97E1-F0D5443A9BEC-M001c.jpg"><?fx-imagestate width="10.75266743" height="7.45066643"?></graphic></alternatives></inline-formula>上的连通7度2-传递非正规Cayley图

李婉婷; 凌波

doi:10.13471/j.cnki.acta.snus.2021A003

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交错群

$A_{167}$ 上的连通7度2-传递非正规Cayley图

研究论文 | 更新时间：2023-11-01

- 交错群 $A_{167}$ 上的连通7度2-传递非正规Cayley图
- A 2-transitive 7-valent non-normal Cayley graph on the alternating group $A_{167}$
- 角色： First author , 第一作者 ,
  
  机构：
  云南民族大学数学与计算机科学学院，云南昆明 650504
  
  邮箱： 1847830346@qq.com
  
  简介：李婉婷（1995年生），女；研究方向：有限置换群、代数图论；E-mail：1847830346@qq.com
  
  暂无本作者相关信息
  李婉婷
  ，
  角色： Corresponding author , 通讯作者 ,
  
  机构：
  云南民族大学数学与计算机科学学院，云南昆明 650504
  
  邮箱： bolinggxu@163.com
  
  简介：凌波（1986年生），男；研究方向：有限置换群、代数图论；E-mail：bolinggxu@163.com
  
  暂无本作者相关信息
  凌波
  ，
- 中山大学学报(自然科学版)(中英文) 2022年61卷第6期页码：166-171
- 作者机构：
  
  云南民族大学数学与计算机科学学院，云南昆明 650504
- 作者简介：
  
  李婉婷（1995年生），女；研究方向：有限置换群、代数图论；E-mail：1847830346@qq.com
  凌波（1986年生），男；研究方向：有限置换群、代数图论；E-mail：bolinggxu@163.com
- 基金信息：
  
  国家自然科学基金(12061089;11701503;11761079;11361006);云南省科技厅面上项目
- DOI：10.13471/j.cnki.acta.snus.2021A003
  中图分类号： O157.5
- 纸质出版日期：2022-11-25，
  
  网络出版日期：2022-04-28，
  
  收稿日期：2021-01-10，
  
  录用日期：2021-05-08
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李婉婷,凌波.交错群A167上的连通7度2-传递非正规Cayley图[J].中山大学学报(自然科学版),2022,61(06):166-171.

LI Wanting,LING Bo.A 2-transitive 7-valent non-normal Cayley graph on the alternating group A167[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni,2022,61(06):166-171.
李婉婷,凌波.交错群A167上的连通7度2-传递非正规Cayley图[J].中山大学学报(自然科学版),2022,61(06):166-171. DOI： 10.13471/j.cnki.acta.snus.2021A003.

LI Wanting,LING Bo.A 2-transitive 7-valent non-normal Cayley graph on the alternating group A167[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni,2022,61(06):166-171. DOI： 10.13471/j.cnki.acta.snus.2021A003.

摘要

在交错群 $A_{167}$ 上构造了一个具有非可解点稳定子群的连通7度2-传递非正规Cayley图，并证明了其全自同构群同构于 $A_{168}$ 。这是目前为止第一个关于有限非交换单群上的具有非可解点稳定子群的连通7度2-传递非正规Cayley图的例子。

译

Abstract

We construct an example of a non-normal 2-transitive 7-valent Cayley graph on the alternating group $A_{167}$ ， where the vertex stabilizer is insoluable， and show that the full automorphism group of this graph is isomorphic to the alternating group $A_{168}$ . So far， this is the first example of connected 2-transitive 7-valent non-normal Cayley graph with insoluable vertex stabilizer on finite non-abelian simple groups.

译

关键词

对称图; 单群; 全自同构群; 非正规Cayley图

译

Keywords

symmetric graph; simple group; full automorphism group; non-normal Cayley graph

译

刻画有限群的结构以及利用群来刻画图的对称性，一直以来都是群与图领域的热点问题^［

1-4］。本文将对有限非交换单群上的非正规Cayley图进行研究。

译

设 $Γ$ 是一个图。其顶点集，边集，弧集以及图的全自同构群分别记作 $V (Γ)$ ， $E (Γ)$ ， $A r c (Γ)$ 以及 $A u t (Γ)$ 。称 $Γ$ 为对称图，若 $A u t (Γ)$ 在其弧集上作用传递。

译

设 $G$ 是一个有限群，将其单位元记为 $1$ 。取 $G$ 中不包含单位元的集合 $S$ ，称之为 $G$ 的Cayley子集。设 $S$ 满足 $S = S^{- 1} ≔ {s^{- 1} |s \in S}$ .定义有限群 $G$ 关于集合 $S$ 的Cayley无向图 $Γ = C a y (G, S)$ ，其中

译

$V (Γ) = G, E (Γ) = \{{g, s g} |g \in G, s \in S\} .$

由定义可知， $Γ$ 的度数为 $| S |$ . $Γ$ 连通当且仅当 $G = < S >$ .设 $R (G)$ 为 $G$ 的右正则表示，显然有 $R (G) \leq A u t (Γ)$ ，且 $R (G)$ 作用在 $V (Γ)$ 上正则，从而可知Cayley图 $Γ$ 是点传递图，我们可将群 $G$ 看作是 $A u t (Γ)$ 的正则子群。反之，点传递图 $Γ$ 同构于群 $G$ 的Cayley图当且仅当 $A u t (Γ)$ 包含一个同构于 $G$ 的正则子群（可参考文献［

4］的性质16.3）。称Cayley图

$Γ = C a y (G, S)$ 是正规的，若

$G$ 在

$A u t (Γ)$ 中正规，否则称

$Γ$ 是非正规的。

译

正规Cayley图的概念是由徐明曜在文献［

5］中首次提出。有限非交换单群上的Cayley图的正规性研究在学术界一直备受关注，而大部分这方面的研究集中在小度数的Cayley图，特别是对于图的度数

$\leq 5$ 和度数为7时的情形，有较多突出性的结论。例如，对于3度图，Li^{［参考文献 6

百度学术

6］}证明：除了7个例外，有限非交换单群上的3度弧传递Cayley图都是正规的。在此基础上，Xu等^{［参考文献 7-8

7-8］}证明：除了

$A_{47}$ 上两个特殊情况，有限非交换单群上的3度弧传递Cayley图都是正规的。对于4度图，Fang等^{［参考文献 9

百度学术

9］}证明：除了一系列可能的

$G$ 上的Cayley图，大部分4度弧传递Cayley图都是正规的。进一步，Fang等^{［参考文献 10

百度学术

10］}又证明：除了非交换单群

$M_{11}$ 上的两个特殊情况，有限非交换单群上的4度2-传递Cayley图都是正规的。对于5度图，Zhou等^{［参考文献 11

百度学术

11］}证明：所有有限非交换单群上的5度1-传递Cayley图都是正规的。Ling等^{［参考文献 12

百度学术

12］}构造了交错群

$A_{39}$ 上连通5度2-传递非正规Cayley图的例子。对于7度图，Fang等^{［参考文献 13

百度学术

13］}提出猜想：当

$d \leq 20$ 或者

$d$ 为素数时，在有限多种情形下，有限非交换单群上的

$d$ 度局部本原Cayley图是正规的。更进一步地，Pan等^{［参考文献 14

百度学术

14］}证明：对于有限非交换单群

$G$ 上的具有可解点稳定子群的7度弧传递Cayley图

$Γ$ ，要么

$Γ$ 是正规的，要么其全自同构群

$A u t (Γ)$ 有一个正规子群

$T$ 在弧集上传递（

$T$ 是非交换单群），满足

$G < T$ 且

$(G, T) = (A_{6}, A_{7})$ ，

$(A_{20}, A_{21})$ ，

$(A_{62}, A_{63})$ 或者

$(A_{83}, A_{84})$ ，并在上述4种

$(G, T)$ 情形下分别构造了一个7度

$G$ -正则的

$T$ -弧传递图。事实上，对于5度图和7度图，目前已知的有限非交换单群上的弧传递非正规Cayley图的例子，大多是考虑了具有可解点稳定子群的情形，而对于具有非可解点稳定子群的情形，已知的结论较少。本文考虑构造有限非交换单群上的具有非可解点稳定子群的弧传递非正规Cayley图，证明了如下定理。

译

定理1 在交错群 $A_{167}$ 上存在连通7度2-传递非正规Cayley图，且其图的全自同构群和点稳定子群分别为 $A_{168}$ 和 $P S L (3,2)$ .

译

1 预备知识

设 $G$ 是有限群， $H \leq G$ ， $C_{G} (H)$ 是 $H$ 在 $G$ 中的中心化子， $N_{G} (H)$ 是 $H$ 在 $G$ 中的正规化子，则有下面的引理1，我们称其为‘ $N / C$ ’定理，参见文献［

15］的第Ⅰ章定理5.7。

译

引理1 设 $H \leq G$ ，则 $N_{G} (H) / C_{G} (H)$ 同构于 $A u t (H)$ 的一个子群。

译

设 $X$ 是有限群， $H$ 为 $X$ 的无核子群。对于 $g \in X - H$ 满足 $g^{2} \in H$ ，定义陪集图 $Γ = C o s (X, H, g)$ 为

译

$V (Γ) = [X : H],$

$E (Γ) = \{(H x, H d x)| d \in H g H\} .$

则根据陪集图的定义易证明下列引理2。

译

引理2 设 $X$ ， $H$ 和 $g$ 的定义如上。令 $Γ = C o s (X, H, g)$ .则 $Γ$ 是 $X$ -弧传递图且下列结论成立：

译

（i） $v a l (Γ) = |H : H ⋂ H^{g}|$ ；

译

（ii） $Γ$ 是无向图当且仅当存在一个2-元素 $g \in X \ H$ 使得 $g^{2} \in H$ ；

译

（iii） $Γ$ 是连通图当且仅当 $< H, g > = X$ ；

译

（iv）如果 $X$ 包含一个子群 $G$ ，且 $G$ 在图 $C o s (X, H, g)$ 的顶点集上作用正则，则 $C o s (X, H, g) ≅ C a y (G, S)$ ，其中 $S = G ⋂ H g H$ .

译

反之，每一个 $X -$ 弧传递图 $Σ$ 均同构于一个陪集图 $C o s (X, X_{v}, g)$ ，其中 $g \in N_{X} (X_{v w})$ 是一个2-元素使得 $g^{2} \in X_{v}$ ， $v \in V (Σ)$ ， $w \in Σ (v)$ .

译

下面的引理3给出了7度对称图的点稳定子群的结构，参见文献［

16-17］。

译

引理3 设 $Γ$ 是一个连通7度 $(X, s) -$ 传递图，其中 $X \leq A u t (Γ)$ ，且 $s \geq 1$ . 则当 $s \leq 3$ 且 $α \in V (Γ)$ 时，下列结论之一成立：

译

（i）如果 $X_{α}$ 可解，则 $| X_{α} | |252,$ $(s, X_{α})$ 见表1。

译

表1 可解情形的点稳定子

Table 1 Vertex stabilizer of the soluable cases

$s$	1	2	3
$X_{α}$	$Z_{7}$ ， $D_{14}$ ， $F_{21}$ ， $D_{14} \times Z_{2}$ ， $F_{21} \times Z_{3}$	$F_{42}$ ， $F_{42} \times Z_{2}$ ， $F_{42} \times Z_{3}$	$F_{42} \times Z_{6}$

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（ii）如果 $X_{α}$ 非可解，则 $| X_{α} | |2^{24} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} \cdot 7,$ 且 $(s, X_{α}, | X_{α} |)$ 见表2。

译

表2 非可解情形的点稳定子

Table 2 Vertex stabilizer of the insoluable cases

$s$

$X_{α}$

$P S L (3,2),$ $A S L (3,2),$

$A S L (3,2) \times Z_{2},$ $A_{7},$ $S_{7}$

$P S L (3,2) \times S_{4},$ $A_{7} \times A_{6},$ $S_{7} \times S_{6},$

$(A_{7} \times A_{6}) : Z_{2},$ $Z_{2}^{6} : (S L (2,2) \times S L (3,2)),$

$[2^{20}] : (S L (2,2) \times S L (3,2))$

$| X_{α} |$

$2^{3} \cdot 3 \cdot 7,$ $2^{6} \cdot 3 \cdot 7,$

$2^{7} \cdot 3 \cdot 7,$ $2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7,$ $2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7$

$2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 7,$ $2^{6} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} \cdot 7,$ $2^{8} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} \cdot 7,$

$2^{7} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} \cdot 7,$ $2^{10} \cdot 3^{2} \cdot 7$

$2^{24} \cdot 3^{2} \cdot 7$

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2 定理1的证明

接下来，我们构造有限非交换单群 $G = A_{167}$ 上的连通7度2-传递非正规Cayley图的例子。

译

构造1 设 $G ≔ A l t ({2,3, \dots, 168}) ≅ A_{167},$ $H = < a, b > < X ≔ A l t ({1,2, \dots, 168}) ≅ A_{168}$ ，其中

译

$\begin{array}{l} a = (1 25) (2 26) (3 27) (4 28) (5 29) (6 30) (7 31) (8 32) (9 33) (10 34) (11 35) (12 36) (13 37) \\ (14 38) (15 39) (16 40) (17 41) (18 42) (19 43) (20 44) (21 45) (22 46) (23 47) (24 48) \\ (49 69) (50 70) (51 71) (52 72) (53 56) (54 55) (57 66) (58 65) (59 68) (60 67) (61 62) \\ (63 64) (73 75) (74 76) (77 87) (78 88) (79 85) (80 86) (81 94) (82 93) (83 96) (84 95) \\ (89 91) (90 92) (97 145) (98 146) (99 1 47) (100 148) (101 149) (102 150) (103 151) \\ (104 152) (105 153) (106 154) (107 155) (108 156) (109 157) (110 158) (111 159) \\ (112 160) (113 161) (114 162) (115 163) (116 164) (117 165) (118 166) (119 167) \\ (120 168) (121 122) (123 124) (125 129) (126 130) (127 131) (128 132) (133 144) \\ (134 143) (135 142) (136 141) (137 140) (138 139), \end{array}$

$\begin{array}{l} b = (1 49 73) (2 50 74) (3 51 75) (4 52 76) (5 53 77) (6 54 78) (7 55 79) (8 56 80) (9 57 81) \\ (10 58 82) (11 59 83) (12 60 84) (13 61 85) (14 62 86) (15 63 87) (16 64 88) (17 65 89) \\ (18 66 90) (19 67 91) (20 68 92) (21 69 93) (22 70 94) (23 71 95) (24 72 96) (25 97 121) \\ (26 98 122) (27 99 123) (28 100 124) (29 101 125) (30 102 126) (31 103 127) (32 104 128) \\ (33 105 129) (34 106 130) (35 107 131) (36 108 132) (37 109 133) (38 110 134) \\ (39 111 135) (40 112 136) (41 113 137) (42 114 138) (43 115 139) (44 116 140) \\ (45 117 141) (46 118 142) (47 119 143) (48 120 144) (145 158 153) (146 157 154) \\ (147 160 155) (148 159 156) (149 165 164) (150 166 163) (151 167 162) (152 168 161) . \end{array}$

取 $x \in G$ 为如下元素：

译

$\begin{array}{l} x = (1 61 105 53) (2 44 106 35) (3 104 107 24) (4 103 108 23) (5 122 116 75) \\ (6 120 115 17) (7 10 114 109) (8 123 113 74) (9 19 110 118) (11 134 112 84) \\ (12 18 111 119) (13 140 98 91) (14 139 97 92) (15 158 100 167) (16 42 99 33) \\ (20 132 117 86) (21 63 101 55) (22 160 102 165) (25 36 45 43) (26 80 46 143) \\ (27 68 47 52) (28 90 48 137) (29 161 32 164) (30 162 31 163) (34 62 41 54) \\ (37 145 38 146) (39 147 40 148) (49 127 65 96) (50 151 66 155) (51 144 67 79) \\ (56 157 64 168) (57 69 59 71) (58 70 60 72) (73 135 124 81) (76 87 121 129) \\ (77 93 142 126) (78 94 141 125) (82 131 136 85) (83 130 133 88) (89 152 138 156) \\ (95 150 128 154) (149 159 153 166) . \end{array}$

定义图 $Γ = C o s (X, H, x)$ .

译

引理4 构造1中的图 $Γ = C o s (X, H, x)$ 是连通弧传递的，它同构于 $G ≅ A_{167}$ 上的一个非正规Cayley图 $C a y (G, S)$ ，其中 $S = {x_{1}, x_{1}^{- 1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}},$

译

$\begin{array}{l} x_{1} = (2 163 165 56 143 147 154 34) (3 117 40 133 38 135 78 35 71 23 69 21) \\ (4 118 64 123 98 25 158 113 44 104 101 19 106 157) (5 80 149 141 75 50 130 91 68 152 88 46 94 96) \\ (6 111 112 45 164 166 132 110 109 52 146 155) (7 63 120 100 124 48 87 79) \\ (8 77 36 150 74 51 93 95 131 90 151 14 85 47) (9 59 11 92 67 29 126 31 128 140 115 57) \\ (10 97 26 30 125 32 127 13 86 60 12 58) (15 144) (16 161 167 66 137 145 156 27) \\ (17 49 73 89 129 42 114 105) (18 107 54 160 119 61 103 102 122 99 159 139 116 41) \\ (20 83 81 43 148 153 121 82 84 62 162 168) (22 142 76 37 136 39 134 108 53 72 24 70) (33 65), \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{2} = (2 154) (3 55) (4 147) (5 115) (6 116) (7 113) (8 114) (9 140) (10 72) (11 134) (12 19) (13 99) \\ (14 100) (15 97) (16 98) (17 59) (18 92) (20 86) (22 26) (23 61) (24 40) (25 71) (27 82) (28 81) \\ (30 77) (31 142) (33 127) (34 75) (36 126) (39 104) (41 122) (42 96) (43 93) (45 69) (46 102) \\ (47 136) (48 135) (49 65) (50 66) (51 67) (52 68) (53 103) (54 131) (56 133) (57 120) (58 149) \\ (60 153) (62 85) (63 107) (64 83) (70 109) (73 121) (74 168) (76 124) (78 159) (79 158) (80 128) \\ (84 112) (87 152) (88 151) (89 137) (90 138) (91 110) (94 162) (95 143) (106 150) (108 148) \\ (111 118) (117 132) (119 139) (123 157) (125 163) (129 156) (130 155) (141 166) (144 167), \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{3} = (2 35) (3 34) (4 59) (5 62) (6 61) (7 120) (8 168) (9 68) (12 25) (13 56) (14 39) (16 53) (17 73) \\ (18 166) (19 45) (20 46) (23 75) (24 118) (26 143) (27 142) (28 55) (29 71) (30 72) (31 107) \\ (32 77) (33 65) (36 133) (37 60) (38 139) (40 57) (41 164) (42 79) (43 131) (44 132) (47 162) \\ (48 105) (49 100) (50 148) (51 121) (52 122) (54 136) (58 141) (63 89) (64 146) (66 140) (67 137) \\ (69 98) (70 91) (76 163) (78 156) (80 90) (81 1 11) (82 112) (83 109) (84 110) (85 126) (86 145) \\ (87 124) (92 165) (93 102) (94 101) (95 104) (96 103) (97 154) (99 106) (108 167) (114 129) \\ (115 161) (116 125) (117 147) (123 155) (130 153) (149 157) (150 158) (151 159) (152 160), \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{4} = (2 113) (3 154) (5 150) (6 108) (7 105) (9 148) (10 147) (11 78) (12 141) (13 80) (14 59) (15 120) \\ (16 119) (19 143) (20 57) (21 163) (22 103) (24 162) (26 161) (27 106) (29 102) (30 156) (31 153) \\ (33 100) (34 99) (35 88) (36 136) (37 86) (38 68) (39 168) (40 167) (43 134) (44 66) (45 115) \\ (46 151) (48 114) (49 69) (50 98) (51 85) (52 112) (53 138) (54 137) (55 140) (56 139) (58 83) \\ (61 124) (62 123) (63 122) (64 121) (65 96) (70 146) (71 79) (72 160) (73 91) (74 92) (75 89) \\ (76 90) (77 131) (81 133) (82 117) (84 97) (87 127) (93 165) (94 144) (95 145) (101 149) (104 152) \\ (107 155) (109 157) (110 158) (111 132) (116 164) (118 130) (125 129) (126 166) (128 159), \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{5} = (5 95) (6 61) (7 35) (8 59) (9 89) (10 158) (11 48) (12 164) (13 31) (14 107) (15 75) (16 109) \\ (21 121) (22 82) (23 141) (24 37) (25 28) (26 27) (29 93) (30 122) (32 136) (33 73) (34 157) \\ (36 155) (38 116) (39 91) (40 110) (41 42) (43 44) (45 62) (46 84) (47 68) (49 52) (50 146) \\ (51 137) (53 127) (54 150) (55 151) (56 71) (57 144) (58 143) (60 83) (63 159) (64 160) \\ (65 66) (67 81) (69 132) (70 166) (72 129) (74 163) (76 156) (77 78) (79 80) (85 88) (86 87) \\ (90 115) (92 108) (94 142) (96 135) (97 100) (98 130) (99 152) (101 167) (102 139) \\ (103 138) (104 119) (105 161) (106 162) (111 124) (112 123) (113 114) (117 148) (118 126) \\ (120 145) (125 128) (131 140) (133 134) (147 149) (153 154) (165 168), \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{6} = (3 123) (4 111) (5 41) (6 109) (7 55) (8 56) (9 43) (10 121) (11 150) (12 149) (13 148) (14 62) \\ (15 63) (18 66) (19 153) (22 160) (23 157) (24 72) (25 82) (26 98) (27 75) (28 126) (29 168) \\ (30 124) (31 151) (32 114) (33 46) (34 45) (35 48) (36 47) (37 54) (38 134) (39 52) (40 112) \\ (42 104) (44 140) (49 73) (50 74) (51 99) (53 137) (57 139) (58 97) (59 163) (60 164) \\ (61 156) (64 88) (65 89) (67 158) (68 92) (69 93) (70 147) (71 146) (76 135) (77 113) \\ (78 133) (81 115) (83 166) (84 165) (85 159) (91 145) (94 155) (95 154) (100 102) (101 152) \\ (103 162) (105 142) (106 141) (107 144) (108 143) (117 130) (118 129) (119 132) (120 131) \\ (125 161) (127 167) (128 138) . \end{array}$

证明设 $Ω = {1,2, \dots, 168}$ ．现考虑 $X$ 在 $Ω$ 上的自然作用。由Magma^［

18］，

$< H, x > = X$ ，再由引理2（iii）可知，

$Γ$ 是连通图。由Magma^{［参考文献 18

百度学术

18］}，

$H ≅ P S L (3,2)$ 且

$H$ 在

$Ω$ 上传递。又

$| H | = | Ω |$ ，则

$H$ 在

$Ω$ 上作用正则。然而，

$G ≔ A l t ({2,3, \dots, 168})$ ，显然

$G$ 是点1的点稳定子群，则

$X$ 具有因子分解

$X = G H = H G$ 使得

$G ⋂ H = 1$ .因此，

$Γ$ 同构于

$G ≅ A_{167}$ 上的一个Cayley图。通过计算还可以验证

$| H | / | H ⋂ H^{x} | = 7$ ，由引理2（i），

$Γ$ 是7度图。因为

$X$ 是非交换单群，所以

$G$ 在

$X$ 中不正规，从而

$G$ 在

$A u t (Γ)$ 中不正规。因此，

$Γ$ 是

$G$ 上的非正规Cayley图。令

$x_{1}$ ，

$x_{2}$ ，

$x_{3}$ ，

$x_{4}$ ，

$x_{5}$ ，

$x_{6}$ 和

$S$ 为该引理所述，则通过计算还可得

$G ⋂ H x H = S .$ 由引理2（iv），

$Γ ≅ C a y (G, S)$ .

译

证毕

译

下面的引理5决定了构造1中的图的全自同构群，进而完成定理1的证明。

译

引理5 对于构造1中的图 $Γ$ ，其图的全自同构群和点稳定子群分别同构于 $A_{168}$ 和 $P S L (3,2)$ .

译

证明令 $A = A u t (Γ)$ ， $V = V (Γ)$ ， $G$ 和 $X$ 的定义如构造1中所述。首先我们假设 $A$ 在顶点集 $V$ 上作用拟本原。设 $1 \neq N$ 是 $A$ 的一个极小正规子群，则 $N$ 在 $V$ 上作用传递，因此 $N$ 是不可解的，从而 $N = T^{d}$ ，其中 $d \geq 1$ ， $T$ 为非交换单群。设 $p$ 是 $|A_{167}|$ 的最大素因子，则有 $p > 7$ ， $p^{2}$ 不整除 $|A_{167}|$ . 因为 $N$ 在 $V$ 上传递且 $| V | =$ $|A_{167}|$ ，则 $p || N |$ .假设 $d \geq 2$ ，则 $p^{d} || N |$ ，由引理3， $| A_{v} | |2^{24} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} \cdot 7,$ 则 $| A | |(2^{24} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} \cdot 7) \cdot |A_{167}|$ ，又 $p^{d} || N | || A |$ ， $p^{d}$ 不整除 $| A_{167} |$ ，矛盾。因此 $d = 1,$ $N = T ⊲ A$ .设 $C = C_{A} (T)$ ，则 $C ⊲ N_{A} (T) = A$ ， $C T = C \times T$ 。如果 $C \neq 1$ ，则由 $A$ 在顶点集 $V$ 上作用拟本原，可知 $C$ 在 $V$ 上作用传递，从而有 $p || C |$ ， $p^{2} || C T | || A |$ ，矛盾。因此， $C = 1$ ，由 $N / C$ 定理， $A \leq A u t (T)$ ，又 $T \leq A$ ，则 $A$ 为几乎单群。

译

因为 $T ⋂ X ⊲ X ≅ A_{168}$ ， $X$ 是非交换单群，则 $T ⋂ X = 1$ 或者 $X$ .如果 $T ⋂ X = 1$ ，则由 $| A_{v} | / | X_{v} | = | A | / | X | |2^{21} \cdot 3^{3} \cdot 5^{2}$ ，有 $| T | |2^{21} \cdot 3^{3} \cdot 5^{2}$ ，但 $p > 7$ ， $p | | N | = | T |$ ，显然矛盾。因此 $T ⋂ X = X$ ， $X \leq T$ .从而有 $| A_{168} | || T | |(2^{21} \cdot 3^{3} \cdot 5^{2}) \cdot | A_{168} |$ ，由文献［

19］的第135-136页知，

$T = X ≅ A_{168}$ ，

$A \leq A u t (T) ≅ S_{168}$ .如果

$A ≅ S_{168}$ ，则

$| A_{v} | = | A | / | G | = 336$ ，这矛盾于引理3中对点稳定子群结构的描述。因此

$A ≅ A_{168}$ .

译

假设 $A$ 在顶点集 $V$ 上作用非拟本原，则存在 $1 \neq M$ 是 $A$ 的一个在 $V$ 上非传递的极小正规子群。显然 $M ⋂ X ⊲ X$ .因为 $X$ 为非交换单群，所以 $M ⋂ X = 1$ 或者 $X$ .如果 $M ⋂ X = X$ ， $X \leq M$ ，则 $M$ 在 $V$ 上作用传递，矛盾。因此 $M ⋂ X = 1$ ， $| M | | | A | / | X | | 2^{21} \cdot 3^{3} \cdot 5^{2}$ .设 $L = M X$ ，则 $L = M : X$ .

译

当 $M$ 不可解时，因为 $| M | |2^{21} \cdot 3^{3} \cdot 5^{2}$ ，且由文献［

20］可知

$A_{5}$ ，

$A_{6}$ 和

$P S p (4,3)$ 是仅有的

${2,3, 5} -$ 单群，则通过比较阶的大小，容易得出

$M ≅ A_{5}$ ，

$A_{5}^{2}$ 或者

$A_{6}$ ，从而有

$| M | \cdot | A_{168} | = | M | \cdot | X | = | L | = | V (Γ) | \cdot | L_{v} | = | A_{167} | \cdot | L_{v} |$ ，

$| L_{v} | = 2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7$ ，

$2^{7} \cdot 3^{3} \cdot 5^{2} \cdot 7$ 或者

$2^{6} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 7$ ，由引理3可知矛盾。

译

当 $M$ 可解时，因为 $M$ 是特征单群，所以 $M ≅ Z_{2}^{r}$ ， $Z_{3}^{s}$ 或者 $Z_{5}^{l}$ ，其中 $1 \leq r \leq 21$ ， $1 \leq s \leq 3$ ， $1 \leq l \leq 2$ .由 $N / C$ 定理， $L / C_{L} (M) \leq A u t (M) ≅ G L (r, 2)$ ， $G L (s, 3)$ 或者 $G L (l, 5)$ .注意到 $M \leq C_{L} (M)$ ，如果 $M = C_{L} (M)$ ，则 $L / C_{L} (M) = L / M ≅ X ≅ A_{168} \leq G L (r, 2)$ ， $G L (s, 3)$ 或者 $G L (l, 5)$ ，然而 $G L (r, 2)$ ， $G L (s, 3)$ ， $G L (l, 5)$ 中不包含同构于 $A_{168}$ 的子群，矛盾。因此 $M < C_{L} (M)$ ， $1 \neq C_{L} (M) / M ⊲ L / M ≅ A_{168}$ ，又 $A_{168}$ 是非交换单群，则 $A_{168} ≅ C_{L} (M) / M$ .因为 $|C_{L} (M)| = | M | \cdot | X | = | L |$ ， $C_{L} (M) ⊲ N_{L} (M) = L$ ，则 $C_{L} (M) = L = M X$ ， $X \leq C_{L} (M)$ ， $X$ 中心化 $M$ ，所以 $L = M \times X$ .因而， $L_{v} / X_{v} = L / X ≅ M$ ， $L_{v} ≅ X_{v} . M$ .由引理3，当 $M ≅ Z_{2}^{3}$ 时， $| L_{v} | = | X_{v} | \cdot | M | = 2^{6} \cdot 3 \cdot 7$ ， $L_{v} ≅ A S L (3,2)$ ，则 $A S L (3,2) ≅ P S L (3,2) . Z_{2}^{3}$ ，但 $A S L (3,2)$ 中没有正规子群同构于 $P S L (3,2)$ 。当 $M ≅ Z_{2}^{4}$ 时， $| L_{v} | = | X_{v} | \cdot | M | = 2^{7} \cdot 3 \cdot 7$ ， $L_{v} ≅ A S L (3,2) \times Z_{2}$ ，则 $A S L (3,2) \times Z_{2} ≅ P S L (3,2) . Z_{2}^{4}$ ，但 $A S L (3,2)$ $\times Z_{2}$ 中没有正规子群同构于 $P S L (3,2)$ ，矛盾。

译

证毕

译

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摘要

在交错群

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49432090&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49432080&type=

4.74133301

3.21733332

上构造了一个具有非可解点稳定子群的连通7度2-传递非正规Cayley图，并证明了其全自同构群同构于

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49432120&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49432113&type=

4.74133301

3.21733332

。这是目前为止第一个关于有限非交换单群上的具有非可解点稳定子群的连通7度2-传递非正规Cayley图的例子。

Abstract

We construct an example of a non-normal 2-transitive 7-valent Cayley graph on the alternating group

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49432159&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49432142&type=

5.41866684

3.72533321

， where the vertex stabilizer is insoluable， and show that the full automorphism group of this graph is isomorphic to the alternating group

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49432191&type=

https://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=49432171&type=

5.41866684

3.72533321

. So far， this is the first example of connected 2-transitive 7-valent non-normal Cayley graph with insoluable vertex stabilizer on finite non-abelian simple groups.

关键词

对称图单群全自同构群非正规Cayley图

Keywords

symmetric graphsimple groupfull automorphism groupnon-normal Cayley graph

references

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交错群 $A_{167}$ 上的连通7度2-传递非正规Cayley图

A 2-transitive 7-valent non-normal Cayley graph on the alternating group $A_{167}$

李婉婷

凌波

DOI：10.13471/j.cnki.acta.snus.2021A003

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